OH

dans l'expression exacte

en —

On diminue donc le dénominateur de la fraction —

c'est-à-dire qu'on augmente cette fraction; mais, en même tempsy on augmente le dénominateur de la fraction

c'est-à-dire qu'on la diminue elle-même; on a donc

En prenant

au lieu de N, on néglige - dans Texpression exacte

On augmente donc la fraction

On diminue y par suite, la fraction

et Ton augmente la fraction

I On a donc

Le même raisonnement se poursuivant indéfiniment, la proposition est démontrée.

On peut renoncer encore, en disant :

La valeur de toute fraction continue est, nécessairement, comprise entre les valeurs de deux réduites consécutives quelconques.

155. IV. Il en résulte que, dans toute fraction continue, chaque réduite est comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.

En effet, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut admettre qu'elle représente une certaine fraction continue limitée qui est, jusque-là, composée des mêmes éléments que la fraction continue proposée.

Or toute fraction continue, quelle qu'elle soit, étant comprise entre deux réduites consécutives quelconques (154), la réduite considérée est alors elle-même comprise entre les deux réduites qui la précèdent immédiatement.

156. V. Dans toute fraction continue, les réduites de rang impair forment une série croissante ^ et les réduites de rang pair une série décroissante.

Considérons la réduite de rang impair a/> -4- i. Elle est comprise (155) entre la réduite de rang 2/? et celle de rang ip — i .

D'ailleurs, les réduites de rang impair sont toutes plus petites que les réduites de rang pair (154). La réduite de rang 2/? -H I, moindre que la réduite de rang 2/? et comprise entre cette réduite et celle de rang 2/> — i, est donc supérieure à la réduite de rang 2/> — i.

Il en résulte que les réduites de rang impair vont en croissant.

De môme, la réduite de rang pair 2/>, comprise entre les réduites de rang 2/? — i et 2/? — 2, étant plus grande que la réduite de rang 2/? — i, est inférieure à la réduite de rang 2/> — 2.

Il en résulte que les réduites de rang pair vont en décroissant.

Loi de formation des réduites.