Soit la fraction continue quelconque

Nous allons calculer les quatre premières réduites et chercher si une loi de formation apparaît.

Première réduite :

ou -

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 1 29

Deuxième réduite :

I ah -^ \

Troisième réduite :

I c abc -\- c -^a

, I bc -\-i oc -h i

Quatrièm^e réduite :

I ' cd -\- 1 .

cri — I ahcd -+- cd -\- ad -h ah -h 1

hcd -h h -h d hcd -r d -^ h

En considérant la troisième et la quatrième réduite, on voit que chacune s'obtient en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on s'arrête, et en ajoutant terme à terme le résultat trouvé avec la réduite antéprécédente.

Il s'agit de montrer que cette loi est générale, c'est-à-dire que, si elle est vraie pour trois réduites consécutives quelconques, elle subsiste nécessairement pour la réduite suivante. Comme nous venons de la vérifier pour les trois premières réduites, elle sera alors complètement établie.

Soient donc les trois réduites consécutives