R Q/-MP ( R =Q/ 4-P
R' "" Q'"/ ^ !>' ( R' rzz Q'/ 4- P'.
g Pour passer maintenant à la réduite suivante 075 il suffit
d'observer qu'elle ne diffère de ^, que par le changement de
De c. — Court. HI. q
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
/en /h — 9 en appelant m le quotient incomplet qui vient
après /. On a donc immédiatement
S' " c'est-à-dire
S Rm-^-Q S' ~ R'/n -h Q' *
La loi de formation indiquée plus haut est donc générale. D'après cette loi, les numérateurs et les dénominateurs des réduites forment deux suites indéfiniment croissantes.
158. Pour appliquer cette loi, il faut que les deux premières réduites aient été formées; mais on peut faire rentrer la deuxième réduite dans la règle énoncée, en introduisant en
tête la réduite fictive -• Combinée, d'après la règle, avec la
première réduite effective —5 elle donne bien — -. — pour
la valeur de la deuxième réduite.
On peut alors employer l'algorithme suivant pour faciliter le calcul des réduites :
ab 4- 1
abc
bc
abcd -\- cd bcd
ad -^ ab -\-\ ~d^~b
Nous disposerons, sur une première ligne horizontale, les
quotients incomplets successifs a, b^c^d, . . .; au-dessous, en
les reculant d'un rang, nous écrirons les deux premières ré-
1 a duites - et -j et nous n'aurons plus qu'à former successive-
ment les autres réduites d'après la règle, en les écrivant audessous du quotient incomplet qui les termine.
Cette règle consiste (157) à multiplier les deux termes de la réduite précédente par le quotient incomplet auquel on est parvenu, et à ajouter terme à terme le résultat avec la réduite antéprécédente.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3i
159. 11 esl indispensable de remarquer que les considéralions précédentes permettent d'obtenir, au lieu de la valeur d'une réduite de rang quelconque, une expression exacte de la valeur X de la fraction continue elle-même, quelle qu'elle soit.
En effet, en remplaçant / par /h > nous avons pu passer
(157) de la valeur de la réduite v.-, à celle de la réduite sui-
vante ^)« Il est évident que, si nous avions fait la même substitution en prenant au lieu de m le quotient complet t qui lui correspond, nous aurions obtenu, au lieu de la réduite ^-,> la
valeur X de la fraction continue elle-même, puisqu'on peut loujours Tarrêler à un quotient complet quelconque (151). Nous écrirons donc, par exemple,
W't- ii'
Propriétés fondamentales des réduites.
160. I. La différence absolue de deux réduites consécutives est une fraction ayant pour numérateur V unité et pour dénominateur le produit des dénominateurs des deux réduites.
Soient, en effet,
trois réduites consécutives quelconques, et / le dernier quotient incomplet qui fait partie de rp- Nous aurons (157)
R Q/-4-P R'~Q'/-hP' et, par suite,
R Q Q/-f-P Q __PQ'-QP.' R' Q'~Q'/4-P' Q'— iî'ii' '
en môme temps que
0 P QP^^PQ^
l32 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Les dénominateurs des deux différences répondent à renoncé. Quant aux numérateurs, ils sont égaux et de signes contraires.
Comme nous avons considéré trois réduites consécutives quelconques, on peut donc dire que le numérateur de la différence de deux réduites consécutives est constant en valeur absolue.
Pour trouver cette constante, il suffit de retrancher les deux premières réduites, par exemple, qui donnent
ab -{' 1 a r
Le lliéorème énoncé est ainsi démontré.
161. Si Ton veut tenir compte du signe de la différence des deux réduites, il suffit de se rappeler que les réduites de raag pair sont plus grandes que les réduites de rang impair (loi). Par conséquent, la différence obtenue est positive ou négative, suivant que la première réduite est de rang pair ou de rang impair.
162. IL Toutes les réduites sont des fractions irréductibles.
Si Ton considère, en effet, les deux réduites consécutives quelconques
Q/ ei ^^, ,
et si l'on forme le numérateur de leur différence, on a (160,
RQ-Qir-dzi.
Cette égalité prouve qu'il ne peut exister aucun facteur commun autre que l'unité, soit entre R et R' ou entre Q el Q', soit
même entre R et Q ou entre R' et Q'.
Les réduites quelconques ^, et ^-, ayant leurs deux termes
premiers entre eux sont des fractions irréductibles {Àrithm.^ 187, 188).
Cette propriété remarquable explique et justifie le nom de réduites»
163. IIL Les réduites de rang impair et les réduites de rang pair convergent respectivement vers une limite fixe, qui est la
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l3
valeur de la fraction continue elle-même^ et, de deux réduites consécutii'es, c'est la plus éloignée qui approche le plus de cette valeur.
En effet, d'après ce qui précède (156), les réduites de rang impair vont constamment en croissant, en restant inférieures à une réduite quelconque de rang pair : elles convergent donc vers une limite Vwe. De même, les réduites de rang pair vont constamment en décroissant, en restant supérieures à une réduite quelconque de rang impair : elles convergent donc aussi vers une limite fixe. Cette limite est, d'ailleurs, la môme pour les deux suites; car la différence de deux réduites con-
seculives ^- et ^,f étant égale à
dr 1
va constamment en diminuant à mesure qu'on avance dans la fraction continue, et tend vers zéro autant qu'on veut sUl s'agit d'une fraction continue illimitée, puisque, d'après la loi de formation des réduites (157), les deux dénominateurs Q' et R' vont constamment en croissant, de manière à pouvoir dépasser toute quantité donnée.
Gomme la valeur de la fraction continue reste comprise entre deux réduites consécutives quelconques (154-), la limite commune dont nous venons de parler n'est autre que la valeur même de celle fraction continue.
En outre, si les deux réduites consécutives considérées sont
TT. et rryj c'csl la plus éloignéo ^, qui approche davantage de
la valeur X de la fraction continue.
Pour le prouver, nous n'avons qu'à comparer successive-
ment, à -^, et à |r-,> la valeur X de la fraction continue, exprimée en fonction du quotient complet t qui correspond au dernier quotient incomplet m compris dans -^ (159).
Pour fixer les idées, nous admettrons que ^ est une réduite de rang pair et qu'on a, par conséquent (154),
l34 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Nous aurons donc (160, 161)
R „ R Rf-+-Q
RQ' QR' R'(R'f + Q')
R' R' R't-hQ'
"liai /^^Q )
et
f(RQ'-QR')
qhr'^-hQ') ■
~ QWVt-^Q)
Or la première différence est évidemment la plus faible des deux, puisque t est au moins égal à i et que Q' est nécessairement moindre que R' (157).
C'est la proposition qu'on vient d'établir qui a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes,
164. On peut la rendre sensible aux yeux en portant sur une même droite, à partir d'un point Vwq 0, des longueurs O/i, 0/j, Ois, ..., proportionnelles aux valeurs des réduites de rang impair : ces longueurs formeront une série croissante. Si l'on porte, à partir du même point 0, des longueurs 0/?,, 0/^4, 0/?6, ..., proportionnelles aux valeurs des réduites de rang pair, elles formeront une série décroissante. Les deux séries obtenues occuperont deux régions distinctes et n'empiéteront pas l'une sur l'autre; mais elles convergeront indéfiniment Tune vers l'autre, de manière à n'avoir finalement qu'un point de démarcation tel que X. La longueur OX sera proportionnelle à la valeur de la fraction continue elle-même.
165. Le calcul précédent permet d'indiquer deux limites simples de l'erreur commise, lorsqu'on remplace la fraction continue par l'une de ses réduites.
Nous avons trouvé (163)
ir R(R'^ r-Q)
Remarquons que le quotient complet t est compris, par
hj'polhèse (163), entre les deux entiers consécutifs m et m -f- 1 .
On aura donc, en valeur absolue, en désignant par ^ la ré-
algèbue supérieure. i35
duile qui suit jr,9
Cette inégalité est évidente a priori (154, 160), et elle entraîne la suivante :
On aura, d'autre part,
R' ^'-^ H'[R'(m-hi)H-Q'] R' -^R'IR'+S')
Ainsi, lorsqu'on s'arrête à une certaine réduite, on peut dire que V erreur commise est moindre que l'unité divisée par le produit des dénom.ina leurs de cette réduite et de la suivante ou que V unité divisée par le carré du dénominateur de la réliuite considérée, et que V erreur commise est plus grande que l'unité divisée par le produit du dénominateur de la réduite par la somme de ce dénominateur et de celui de la réduite suivante.
166, 11 résulte de ce qu'on vient de dire que, lorsque la fraction continue est illimitée^ on peut toujours former une réduite qui en diffère d'une quantité moindre qu'une quantité donnée £.
Il suffît, en effet, d'arriver à une réduite yrj telle, qu'on ait
^,<s ou R'>^..
Or, les dénominateurs des réduites formant une suite indéfiniment croissante, on atteindra toujours une réduite pour laquelle cette condition sera remplie.
167. IV. Un nombre K ne peut approcher davantage de la valeur^ de la fraction continue qu'une réduite -^^y sans être
compris entre cette réduite et la réduite précédente ^, •
l36 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
En effet, si K approche plus de X que ^^z' ^^ approche a
fortiori {163) plus de X que ^,; et, comme X tombe toujours
entre ces deux réduites consécutives (154), il faut évidemment que K remplisse la môme condition.
