V. Toute fraction ordinaire qui approche davantage
l> de la valeur X de la fraction continue qu'une réduite rr-, a
des termes moins simples , c'est-à-dire respectivement plus grands que ceux de la réduite.
Considérons, en effet, la réduite ^7 et la réduite ^ qui la
précède immédiatement. Admettons que la fraction ^^ ap-
proche davantage que -^, de la valeur X de la fraction continue.
La fraction ^ sera d'abord nécessairement comprise entre
les deux réduites ~ et ^g-, (167). En supposant ^, de rang
y i\ il
pair pour fixer les idées, les quatre quantités considérées, rangées par ordre de grandeur croissante, formeront donc la suite
Q' X, g, ^, ou qv g, X, ^r
Il en résulte
ou (160, 161)
AO-BQ^ I
BQ' R Q
Comme il s'agit de nombres entiers, la différence AQ' — BQ est au moins égale à i. L'inégalité précédente exige donc
qu'on ait
BQ'>IVO' ou B>R'.
Si nous renversons maintenant les quantités considérées, leurs inverses formeront, par ordre de grandeur décroissante.
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
la suite
11 en résulte
OU
AQ'~HQ^ L
Cette inégalité exige, à son tour, qu'on ait
QA > QR ou A > R.
La proposition qu'on vient de démontrer prouve que les réduites successives expriment la valeur de la fraction continue aussi simplement que possible, eu égard au degré d* approximation obtenu,
169. Il est utile de s'arrêter un instant sur la propriété précédente, qui imprime aux réduites un caractère tout particulier.
On pourrait croire, au premier abord, que de plus grands dénominateurs répondent à une plus grande approximation. On voit qu'il n'en est rien. Et, en effet, si Ton prend, par
exemple, les trois fractions — ? ji — ? qui, ramenées au même
dénominateur, forment la suite croissante ^^^ ^^ ? -^^ on com-
6 7 prend qu'une quantité X puisse tomber entre — et — » en
étant beaucoup plus près de ^ que des deux autres fractions.
S'il en est ainsi, il sera impossible, avec des onzièmes d'unité
d'obtenir pour X une valeur aussi approchée que v
Ainsi, en cherchant les valeurs approchées d'une quantité parmi des fractions de dénominateur donné, on peut, dans certains cas, avoir un degré d'approximation moins favorable qu'avec des fractions de dénominateur plus petit. Ce qui est très remarquable, c'est que cela ne se produit jamais pour une fraction continue, lorsque les valeurs approchées sont choisies parmi ses réduites.
l38 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
L'emploi des fraclions continues intervient, par la propriété sur laquelle nous venons d'insister, dans rétablissement des trains d'engrenages compliqués, comme ceux que nécessitent les combinaisons de la haute horlogerie ( * ).
170. VI. Lorsqu'on réduit en fraction continue deux valeurs d''un nombre N, l'une approchée par défaut, l'autre approchée par excès, tous les quotients incomplets communs aux deux résultats obtenus appartiennent nécessairement au développement de N en fraction continue.
Désignons par A et B les deux valeurs approchées de N par défaut et par excès, et admettons qu'on ait
A et B ont la même partie entière a. Cette partie entière est donc aussi celle de N qui est compris entre A et B, et Ton peut poser à la fois
A = a-^-> B -^a -\ :, N— an
X est alors nécessairement compris entre r et j', et comme, d'après les deux développements supposés, ces deux quotients ont la même partie entière b, cette partie entière est aussi celle de x. On peut donc poser encore
a devant être compris à son tour entre z et z', qui ont la même partie entière c, a aussi cette partie entière, et l'on peut poser de nouveau
(>) f^oir les feuilles autograpbiées de mon Cours de Cinématique à TEcole Coutrale, i865-i866.
Eli continuant, on voit que la fraction continue représentant le développement de N commence nécessairement par a et
par les fractions intégrantes ,> -j ->> communes aux deux
développements donnés. On a donc
N -zr a H
EXEMPLES
\1\. i® Remplacer la fraction ô~> P^^ des fractions approchées, exprimées aussi simplement que possible , eu égard au degré d'approximation obtenu.
n suffit de convertir la fraction donnée en fraction continue et d*en former ensuite les différentes réduites (168). d'après l'algorithme indiqué (158).
Comme le nombre donné ne contient pas de partie entière, on posera
3o24 3oj>4
Il faut chercher le plus grand commun diviseur des nombres 3024 et
i3g2 en réduisant d'abord le nombre fractionnaire -^r-^ à sa plus simple
expression {Arithm,, 189). On est ainsi conduit à — • L'opération du plus grand commun diviseur donne alors
La fraction continue cherchée est donc (132)
Nous formerons les différentes réduites d'après le Tableau ci-après,
en remarquant que la première réduite est et que a est ici égal à zéro :
La dernière réduite reproduit naturellement la fraction proposée ramenée à sa plus simple expression (162).
Si Ton remplace 5-— par la fraction -^ > l'erreur commise est moindre
Que ■ - ,,- ou que ^ — > et elle est plus grande que -777—0 z.^ o" Q"©
172. 2° Troiwer des fractions ordinaires exprimant le nombre tt
{Gebm.y 228) aussi simplement que possible, eu égard au degré' d'ap-
proximation obtenu, sachant que tt est compris entre les deux nombres
décimaux
3,1415926 et 3,1415927.
On commencera par réduire ces deux nombres en fraction continue, jusqu'à ce que les fractions intégrantes successivement obtenues deviennent différentes (170).
On trouvera facilement, en passant de la forme décimale à la forme fractionnaire et en suivant la marche rappelée au numéro précédent,
3i4it)C)26
On a donc nécessairement
ij
ALGEBRE SUPÉRIEURE. l^l
Oa calculera les réduites correspondantes à l'aide du Tableau
Tl
loG
ii3
Ces réduites, en tenant compte du degré d'approximation qu'elles présentent, approcheront plus do ir que toutes les fractions ayant des
termes respectivement plus simples. Ainsi — est la valeur do ir, à ^ centième près, exprimée avec les termes les plus simples possibles. Remarquons que — est précisément la valeur de ir trouvée par Ar-
chimède; — -:, celle qu'on a attribuée aux Hindous; ^ — -7 colle qui est lob ^ ' ij3 ^
due à Adrien Métius.
Des fractions continues périodiques.
173. Lorsque, dans une fraction continue illimitée, et nous en avons défini la valeur au n* 163, un nombre limité de quotients se reproduisent indéfiniment dans un ordre constant, on dit que cette fraction continue est périodique. Les éléments qui se reproduisent constituent la période.
Lorsque la période commence dès le premier quotient incomplet, la fraction continue est périodique simple. Lorsque la première période ne commence pas dès le premier quotient et est précédée d'éléments qui ne se reproduisent pas, la fraction continue est périodique mixte.
Nous nous proposons ici de démontrer le beau tbéorème de Lagrakge sur les fractions continues périodiques [J.-L. Lagrangb, Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés (*), Chap. VI].
Nous exposerons d'abord la proposition suivante qui, comme le dit Lagrange, était connue depuis longtemps, lorsqu'il en démontra la réciproque, beaucoup plus difficile à établir.
174. I. Toute fraction continue périodique peut être regardée commue V une des racines irrationnelles d'une équation du second degré à coefficients rationneb.
{^) Tome VI II de rédition complète dea OEuvres de Lagrange, publiée par les soins de M. J.-A. Sebret, aous les auspices de M. le Minibtre de rinstructiou publique; Gauthier- Villars, mdccclxxix. — Cours tT Algèbre supérieure^ par J.-A. SEaBBT, 3* édition, t. 1; Gaulhier-ViUars, i8C6.
l42t ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Lorsque la fraction continue est périodique simple, les racines de l'équation du second degré correspondante sont de signes contraires. Lorsque la fraction continue est périodique mixte, les racines de V équation du second degré correspondante sont de même signe.
i<» Soit la fraction périodique simple a:, dont la période est formée des quotients incomplets a, b, c, d. On aura alors indéfiniment
Comme la fraction continue se poursuit ainsi sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire
JT :=z a A-
Désignons par ^-, et ^7 les deux réduites qui correspondent
aux derniers quotients incomplets c et rf dans la nouvelle expression de X. Nous aurons (159)
R jr-f-Q
d*où Ton déduit immédiatement
Le terme tout connu étant négatif, les racines de cette équation du second degré sont de signes contraires {Alg. élém..
2* Soit la fraction continue périodique mixte x, dont la parlie non périodique est formée des quotients incomplets a, ù.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l43
c, d, et dont la période est formée des quotients incomplets ^» /> ^y ^'' On aura alors indéfiniment
Si Ton désigne par 7 la valeur de la fraction continue périodique simple
or
comme la fraction continue a^ se poursuit sans jamais s'arrêter, il est clair qu'on peut écrire à la fois
ûc — an
et
ALGÈBRE SDPÉniEURE.
:>n représenie alors par -' el 3 'es réduites qui corresit aux quolienls incomplels c el d dans la valeur (i) îl par fy ei JÎ7 'es réduites qui correspondent aux nts incomplets g et h dans la valeur (2) de x, on a
L la rois (159)
r'y -t- -/' ity -i- Q' on résout par rapport à j' considéré comme fonction :s deux équations comprises dans la relation (3), el si ;ale entre eux les résultats obtenus, il vient évidem-
r'^-r" it'x-K' en déduit
-\-qli—rQ—o.
donc encore racine d'une équation du second degré à
ienls rationnels.
31'oduit des racines de celle équation est Ogai (Alg.
y'IV-/'Q'' DUS reste à chercher le signe de celle expression, gnons par —, la réduite qui précède —, et par ^, la ré-
jui précède v^- Nous aurons (157)
r—qd -hp, It --QA +P,
r' ~ q'd -hp', R'— Q' A -h 1". substituant ces valeurs dans l'expression (6), on peut incr les formes successives
/,^}>)-.[qd^p) 0 ^ Q,f(f, — d)^qV-pQ
i-rP')-iy'rf+/-";Q'~Q'7'lA-(/) + ./P'-/Q'
ÀLGÈBEE SUPÉRIEURE. l45
Or h ne peut être égal à d^ sans quoi la période commencerait un rang plus tôt, et la différence des deux nombres entiers h et âf est au moins égale à i en valeur absolue. D'ail-
P p' P P' leurs, les rapports > / ' ô' fp sont des fractions proprement dites d'après la loi de formation des réduites, et il en
P p P' p' est de même, a fortiori, des différences tt — ~> 777 — ^ •
Les deux termes du second rapport écrit dans la dernière forme donnée à l'expression (6) ont donc nécessairement le même signe, et cette expression est positive. Les deux racines de l'équation (5) sont, par conséquent, de même signe {Alg, élém.y 2W).
Remarque. — Le raisonnement employé exige évidemment que la fraction périodique mixte admette plusieurs quotients avant la première période.
S'il n'y avait, avant celte période, qn* un seul quotient a, on
aurait
et la réduite -^ deviendrait la réduite fictive - (158). Par suite, le produit (6) des racines de l'équation (5) serait égal à
R — aQ
rapport qui peut être positif ou négatif; de sorte que, dans ce cas parliculîer, les deux racines de l'équation (5) peuvent être de même signe ou de signes contraires.
175. IL Théorème de Làgrangb. — Toute racine irrationnelle d^une équation du second degré à coefficients rationnels se développe suivant une fraction continue périodique.
Lorsque l'équation du second degré considérée a ses racines de signes contraires, la fraction continue est périodique simple ou périodique mixte avec un seul quotient avant la période. Lorsque cette équation a ses racines de même signe, la fraction continue est périodique mixte.
Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en plusieurs parties.
De g. — Cours. III. lo
l46 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
I® Conventions préliminaires.
Toule quantité irrationnelle, racine d*une équation du second degré à coefficients rationnels, est une irrationnelle du second degré.
On peut toujours ramener une équation du second degré à
coefficients rationnels à avoir ses coefficients entiers et, en
multipliant Téquation par 2 si cela est nécessaire, à avoir un
nombre pair pour coefficient de la première puissance de
rinconnue.
Soit donc
Aa?'-i-2Ba?-i-C = o
une équation du second degré où les coefficients A, B, C sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, tels que la quantité B* — AC placée sous le radical de la valeur de x et supposée positive (Alg. élém,, 237) ne soit pas un carré parfait. En effet, si B- — AC représentait un carré parfait, x serait un nombre commensurable, et son développement eu fraction continue serait limité (152).
On a, pour les racines de l'équation proposéci
- B ib i/B« — AC x=. )^
En posant B' — AC:=rF et en prenant le radical toujours positivement, on peut les écrire
itA
On associera ensemble les signes supérieurs et les signes inférieurs. En effet, dans cette hypothèse, la première racine
Hh-s/F , , . -4-B-4-v/F — B — v/l? sera ^ et la seconde racme, — 174 — ^^ r
Si Ton veut ne tenir compte que des valeurs absolues des racines, on se contentera de prendre le dénominateur A dans la formule précédente avec le signe qui rend Tune ou l'autre racine positive.
Nous poserons maintenant
E = H=B, Dr=:±:A.
Nous représenterons, en outre, par D-j la valeur de C prise
ALGEBEE SUPÉRIEURE. l^'J
avec UD signe tel qu'on ait
AC = -D-tl>.
Nous verrons plus loin le but de cette notation. Finalement, toute irrationnelle du second degré prise positivement peut être représentée par la formule
avec la condition
(2) F = B* — AC = E«-hD-iD.
F est un entier positif dont la racine carrée est irrationnelle. Les nombres E, D, D i sont des nombres entiers, />ositifs ou négatifs,
2' Développement en fraction continue de l'irrationnelle positive du second degré
Nous déterminerons la racine du plus grand carré entier contenu dans F et, en divisant par D la somme formée par E et par cette racine, nous trouverons le plus grand entier a contenu dans x. Nous poserons donc, d'après la méthode connue (151),
x^za-\
Le quotient complet a?, sera donné par la relation
x — a (Da — E)-hv^F
Nous rendrons rationnel le dénominateur de l'expression en multipliant ses deux termes par (Da — E) -t- y/F. Elle deviendra évidemment
D(Dfl~E + v/F)
^*"" F— (Da — E)« ' et, en posant
l48 ALGEBRE SUPÉniEURE.
nous la ramènerons à la forme
toute pareille à celle de x.
El est un nombre entier^ positif ou négatif; Di est an nombre rationnel, positif ou négatif.
On voit, par ce qui précède, qu'on peut opérer sur x^ pour trouver le quotient complet suivant a?,, comme on a opéré sur X pour trouver Xx\ et ainsi de suite, indéfiniment.
On écrira donc
X =: y^-l — zz: a H f
■^«= — fï = ^«+ "Z — '
Nous obtiendrons ainsi les quotients incomplets a, ai, a^y . . . , a,,, . . . de la fraction continue illimilée que nous cherchons, et nous pourrons calculer les réduites correspondantes.
Nous remarquerons que la quantité radicale y/F reste la môme dans x et dans tous les quotients complets x^y x^,
3*> Loi de formation des quotients complets. — Le nombre rationnel D„ est toujours entier.
Ona(a«)
^ -^ Oa-x -h — •
^n-X = — ti: = ^«-1
On en déduit, comme précédemment (2*),
ALGÈBRE SVPÉRIEVKE. l/^g
mais, d'après nos notations, on a d'autre part (a")
En comparant les deux expressions de x^, on a donc nécefc sairemenl
(3) En = D«,ai,-., — E;,,
et
On en déduit, comme cela doit être (i** et 2«),
(5) F = Ei-f-D„,D,.
Si Ton admet que Eq et Do représentent E etD, la formule (5) subsiste, quel que soit /i, puisque Ton retrouve alors la formule (2) [i«]
Éliminons donc F entre les formules (4) et (5), en remplaçant, dans la formule (5), n par n — i. Nous aurons ainsi
F^Eî.,-4-D«,D„«i,
et, en transportant cette valeur dans Téquation (4)9 en simplifiant et en divisant par D„-„ il viendra
D;» = D„-,— D„ia*i -h 2Ert ia„,.
En remplaçant dans cette équation D„.i par sa valeur déduite de Féquation (3) et en simplifiant, nous aurons enfin
Les formules (3) et (6), qui font connaître E;, et D„ en fonction des quantités précédemment calculées, contiennent la loi de formation des quotients complets.
Nous avons trouvé (2») pourE, un nombre entier, positif ou négatif, et pour Di un nombre rationnel, positif ou négatif. Nous trouverons donc pour E», E,, . . ., E;,, . . . des nombres entiers, positifs ou négatifs, tandis que D^, D„ . . . , Di^, ... se présenteront sous la forme de nombres rationnels^ positifs ou
l5o ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
négatifs. Il reste à démontrer que cc5 nombres rationnels sont entiers.
Or la formule (6) ou celle qui la précède prouve immédiatement que Drt sera entier si D;j i et D^-j le sont eux-mêmes. Il suflît donc, en supposant /i = i, que D, et Do ou D soient entiers, pour pouvoir affirmer qu'il en sera de même successivement de Di, D,, D„ . . ., D„, .... Nos conventions préliminaires {\^) admettant expressément que D i et D sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, nous pouvons dire, d'une manière générale, que D« est un nombre entier, positif ou négatif, comme E».
4° A partir d*une certaine valeur limite donnée à /i, les nombres entiers E„ et D^ deviennent et restent constamment positifs.
Pour établir ce fait, nous considérerons les réduites successives de X en les représentant, pour plus d'homogénéité dans les notations, par
Pq Pj P> Pw-l P»
Uo' Q;' Q/ '**' Q«-i' Q«
Si l'on suppose Po— i et Qo = o, la première réduite est la
yMuMq fictive - (158); — ®^^ '^ (n -h i)>*"« réduite, et l'on
Q/i^/iH-Q/t-i'
ou bien (a®)
E^y/F " I). '"''(P.E,-^Pn-iD.)-HP.v/F
D ^ E.+ y/F , ^ (QnE„-^Q;.,D„) + Q„v^F
Chassons les dénominateurs de cette expression et égalons respectivement les parties rationnelles et les parties irrationnelles des deux membres {Alg. élém., 264). Nous aurons
E(Q„E,+ Q„-,DJ-+-Q„F = D(P„E„+P«,DJ, EQ„+ Q„E„ + Q«-|D„ = Vn D.
En ordonnant par rapport à E,, et à D„, on obtient les deux
ALGEBRE SUPÉRIEURE. l5l
équations du premier degré
(7) (DP«-EQ„)E„-+-(DP„-,-EQ„,)D„ = Q„F,
(8) Q;,E„4-Q„-,D„=.DP,-EQ;,.
Si Ton élimine D,^ entre ces deux équations, le coefficient de E« se réduit à
c'est-à-dire à ± D, suivant que n est pair ou impair (160). On peut donc mettre ce coefficient sous la forme D( — i)'* ou
— • On trouve amsi
(9) E«zz.^il^[Q„,Q„F-(DP„,-EQ,-0(DP«-EQ;,)].
En éliminant E;, entre les mêmes équations (7) et (8), et en faisant usage de la même relation
on trouve également
(10) D,.- tli)![(DP,-EQ„r-QJF].
Considérons d* abord la valeur de D„.
On peut la mettre sous la forme
I>«=^r"(DP,--EQ«--Q„>/F)(DP„-EQ,+ Q,v/F).
En ajoutant et en retranchant alors 2 Q^» y/F dans le dernier facteur du second membre; en mettant ensuite QJ en facteur commun, ce qui conduit à diviser respectivement par Q„ les deux facteurs entre parenthèses; en divisant enfin le premier de ces facteurs par D, on a évidemment
La formule (11) va nous permettre de montrer que D„ devient et reste positif à partir d'une certaine valeur de n.
En effet, — pp — représente x{i^). Le premier facteur entre crochets a donc le signe de (— ï)** : il est positif si n
l52 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
est pair, négatif si n est impair, puisque j^ est la réduite
correspondante (154). Son produit par (-— O^Q» est donc
toujours positif. D'ailleurs la différence entre rr^ et ^ peut
devenir aussi petite qu'on veut pour n assez grand (166). Il en résulte que, quel que soit le signe de I), la valeur du second facteur entre crochets tend autant qu'on veut vers 2 \ff, c'est-à-dire qu'elle devient positive pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite. Il en est donc de même de D„, à partir de cette limite.
Considérons à son tour la valeur de En»
Prenons l'équation (8), qu'on peut écrire
ou
On-,D„
On a d'ailleurs (a»)
œn= — p-^— ou D„:r^=rv^l^ -hE„,
En divisant membre à membre les deux dernières équations, on trouve
La formule (la) va nous permettre de montrer que E^ devient et reste positif, à partir d'une certaine valeur de n. En effet, on a
^^E-hvT^ d'où D^-E-y/F.
Par conséquent, puisque j~ tend vers x autant qu'on veut
vin
pour n assez grand, le second membre de l'équation (12) devient, à partir d'une certaine valeur de n, aussi près qu'on veut de
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l53
Il est donc impossible que £„» à partir de cette même Hmite, soit négatif; car le second membre de l'équation (la) serait alors plus grand que i, tandis que son premier membre est manifestement inférieur à i. (On a Qn-i<Qn d'après la
loi de formation des réduites, et Xn=an-^ est supérieur
à Tunité.) Ainsi, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, £„ est et demeure positif.
5*» Toute racine irrationnelle d'une équation du second degré à coefficients rationnels se développe suivant une frac^ lion continue périodique.
Nous avons établi (2% 3% 4°) que E„ et Dn sont entiers et que, pour les valeurs de n supérieures à une certaine limite, ils sont positifs.
Si nous considérons le développement de la fraction continue illimitée à partir de cette limite, la formule (5)
F = E;-hD„tD„
prouve qu'on a alors constamment
La formule (3)
écrite en remplaçant n par n-H i, donne alors évidemment
D„a„ — E«+i-hE„ ou D„a„<2v/F; et il en résulte constamment
D„<2v/F et a«<2v^F.
Les nombres entiers E„, D^, a„ sont donc limités; et les quotients complets ^„, comme les quotients incomplets a^ ne peuvent avoir qu'un nombre yî/ï« de valeurs différentes.
On a
On peut faire, varier D„, entier, depuis i jusqu'au plus grand entier contenu dans a v'F, en l'associant avec une valeur de Eff, entier, variant depuis i jusqu'au plus grand en-
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
lier contenu clans \/V. Le nombre des valeurs de j^n est donc au maximum 2 y/P. y/F ou 2F.
Il est finalement démontré qu'en poursuivant la conversion de
E + vT
en fraction continue illimitée, on retrouvera nécessairement, après un nombre d'opérations plus ou moins grand, mais qui ne peut excéder 2F, un quotient complet déjà obtenu, A partir de là, il est clair que la suite des quotients complets ou incomplets redeviendra identique à celle qu'on avait trouvée après la première apparition de ce quotient, et qu'elle se reproduira indéfiniment. La fraction continue illimitée égale à X sera donc périodique simple ou périodique mixte, suivant qu'on retrouvera ou non le premier quotient (173).
6" Lorsque l'équation du second degré considérée a ses racines de signes contraires^ la fraction continue correspondante est périodique simple ou périodique mixte avec un seul quotient avant la période. Lorsque cette équation a ses racines de même signe, la fraction continue correspondante est périodique mixte.
Ce corollaire est la conséquence nécessaire du théorème I (174, i^y 2* et Remarque).
Applications.
