Hv/â
on en déduit « = i, comme précédemment. On pose ensuite, comme à l'ordinaire (151),
x' = iH , d'où Xx = —, = ,
La partie entière de :ri est donc celle de — ou ^i = a.
xj = 2 H donne
:ri =
Xi — 2 3-4-/285
Il faut alors rendre le dénominateur de l'expression rationnel {A^, élém^y 79), en écrivant
•Tj
ALGEBRE SUPÉRIEURE. 1 57
La partie entière de xs étant ^s= 3, on a
JTî = 3 H 9
1 î TO
-^î— 3 1 5 -4- v/;>.85 /iÏ8Ï— i5
lO
io^/l85-f>i5) io(v/285-f-i5) y/^Si-f-iS "" 285 — aa5 " 6o " 6
La partie entière de a:^ étant ^3= 5, il vient
d'ovL
L'opération est donc terminée et les résultats sont identiques aux précédents.
177. 2® Dés^elopper en fraction continue V irrationnelle sf¥ y sachant que a est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans F.
On voit immédiatement que \fè est Tune des racines de l'équation du second degré
Les deux racines de cette équation étant de signes contraires devront se développer suivant des fractions continues, périodiques simples ou périodiques mixtes avec un seul quotient avant la période (175). C'est ce dernier cas qui se réalisera toujours. Nous nous contenterons de vérifier le fait sur des exemples particuliers, sans le démontrer d'une manière générale.
Si a* est le plus grand carré entier contenu dans F, F pourra varier (en le supposant entier) de a*-H i à a* 4- ia {Aritkm.y 275). Nous allons considérer les deux valeurs extrêmes en effectuant directement les calculs.
l58 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Convertir x = ^cl^ -hi en fraction continue,
La partie entière de x étant a, on a successivement
J: = Û -h — ? JTi = = ' = /a' -H I -h tf
xx x^a yJQi j I « ^
La partie entière de x^ est a^ = 2a. Par suite,
^\ xi — art yja^^y^^a
L'opération est terminée. Le quotient non périodique est a et la période est formée du terme unique 2 a. On a donc
ia
aa
la -:-.
Convertir x = yja^-^ia en fraction continue»
La partie entière de x étant a, on a successivement
I I I ^ a'^ -^ i^a -^ ft
X = a -T- — y JCj =
•^1 ^ ^ v/û'-H aa — a
La partie entière de xi est «1 = 1. Par suite,
aa
OTl = IH ,
Xj
•^1 — ' /rt' H- 2 rt -f- ^
aa
aa aa(\/a*-^ aa -f- a^
v/a*-h aa — a ^^
La partie entière de x^ est a^ = aa. On a donc
= v/aî
-t-aa-+-a.
xj = aa H î xa = = — ;=^-T:^;r = xj ,
L'opération est terminée. La partie non périodique est a, la période est i| aa, et Ton peut écrire
X = y/a* -h aa =a-4-
aa
aa
ALGÈBRE supéhieuhe. i59
178. 3" Tromper des valeurs approchées aussi simples que possible de \f^. eu égard au degré d'approximation obtenu,
U faut convertir /7 en une fraction continue périodique mixte présentant un seul terme non périodique, comme on vient de le voir, et former les réduites successives, jusqu'à ce que l'on atteigne l'approximation voulue.
Nous nous servirons cette fois des formules générales (175).
L'équation duisecond degré
Aj:*-f-aBx-+-C = o
se réduisant à
on a
ce qui entraîne E = o et D = i . F étant égal à 7, la partie entière de x est a = a. Enfin D i = — C = F = 7. Les formules
(3) E/i = Drt i aa-x — E/i-i ,
donnent alors successivement :
Pour // = I ,
a -4- i/7 E, = 2, Di = 3, jc,= — ~-^, ûi = i;
pour « = 2,
