ANALYSE INDÉTERMINÉE DU PREMIER DEGRÉ
179. L'analyse indéterminée du premier degré est une partie importante de la Théorie des nombres.
Son but est le suivant : Étant données m équations à coefficients entiers, positifs ou négatifs, entre m -^ n inconnues x, V, z, . . . , trouver les solutions entières de ces équations^ c'està-dire les systèmes de valeurs entières, positives ou négatives de a:, y, 5, . . ., qui l^s vérifient.
Nous considérerons d'abord une seule équation à deux inconnues.
Résolation de réqnation ax-^hy ~c en nombres entiers.
180. On peut supprimer tout facteur, commun à la fois aux coefficients a, 6, c, sans altérer les solutions de l'équation. Nous admettrons donc que ces coefficients a, b^ c sont premiers entre eux dans leur ensemble {Arith,, 120),
181. I. Lorsque les coefficients a et b des inconnues x et y ne sont pas premiers entre eux, r équation ax -\- by^=ic ne peut admettre aucune solution entière.
Lorsque ces coefficients a et b sont premiers entre eux, l'é^ quation admet nécessairement une solution entière.
En effet, si a et 6 ont un facteur commun A-, différent de i, les valeurs entières de x et de j, quelles qu'elles soient, rendront le premier membre de l'équation multiple de k, tandis que le second membre ne pourra remplir cette condition, a, 6, c étant supposés premiers entre eux (180).
Soient donc les coefficients a et 6 premiers entre eux.
Puisqu'on peut toujours changer les signes des deux mem-
De c. — Cours. lU. IX
ALGEBRE SUPÉRIEURE.
bres, il est permis de regarder le coefficient de Tune des inconnues, a par exemple» comme positif. On tire alors de Téquation donnée
On peut toujours effectuer la division de deux nombres entiers, quels que soient leurs signes, de manière que le reste de la division soit posilif {Arithm., 122). Remplaçons donc successivement/, dans la relation (1), par les valeurs
et cherchons les quotients correspondant aux diverses valeurs du second membre, de façon que les restes des divisions effectuées soient tous positifs.
Il est facile de voir qu'on parviendra ainsi à une valeur entière de Xf et à une seule.
Admettons, pour un instant, que deux valeurs de y appartenant à la suite (2), et que nous désignerons par y' et y\ puissent conduire au même reste r. Les quotients élant 7' et q'^, on aurait alors
c — by' z=zaq' -\- l'j c — by'':=iaq" -^ r\
d'où Ton déduirait, par différence,
a, qui est premier avec b, diviserait alors y" — y'\ ce qui est impossible, puisqu'on a, d'après (2),
Tous les restes obtenus sont donc différents. Comme ils sont entiers, moindres que a et que l'on exécute a divisions, il en résulte que l*un d*eux est forcément nul.
Si (3 est la valeur de y qui correspond à ce reste nul, on a
ocr=. 1- zn a (nombre entier),
d'où
(3) aa-+-6P=:c,
et l'équation proposée admet la solution entière
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. l63
182. II. Lorsque l'équation ax -^ by=^c admet une solu" tion entière, elle en admet une infinité.
Puisqu'on a alors (181)
aa-h 6(3 = c,
on peut écrire
ax H- ftj' = aa -H fe[3,
d'où Ton déduit
Si Ton désigne alors par Q un entier indéterminé, positif, négatif ou nul, il suffit que y satisfasse à Téquation
pour que la valeur correspondante de x soit entière comme celle attribuée à y>
Tous les systèmes de valeurs entières de x et de /, qui satisfont à réquation
ax -\- by T=zCf
seront donc données par les relations
/ — ^z=za9 et oî — ar= — b9
ou
y=z^^a6 et x = (x — bO,
en faisant parcourir à 9 toute la série des nombres entiers, positifs ou négatifs.
Les valeurs trouvées pour x et pour y forment deux pro' gressions par différence, illimitées dans les deux sens {Alg. élém., 322). L'une de ces progressions, celle qui correspond à y^ a pour raison le coefficient de x dans V équation; Vautre, celle qui correspond à x, a pour raison le coefficient de y; mais l'un des deux coefficients est changé de signe.
183. D'après ce qu'on vient de dire, la résolution de l'équation ax-^ by=ic en nombres entiers revient à trouver une seule solution çntière de l'équation.
On peut, pour cela, choisir entre trois procédés, que nous allons indiquer successivement.
164 ALGEBRE SUPÉRIEURE.
184-. Premier procédé, fondé sur l 'emploi des propriétés des fractions continues.
Réduisons la fraction irréductible t> prise positivement en
fraction continue. Cette fraction continue sera limitée (152).
Soit ^ ravant-dernière réduite. La dernière sera r- En fori\ o
mant la différence des deux réduites, nous aurons (160, 161)
a R gR^ — 6R zhi b R'"" bVi' —^R''
c'est-à-dire
aR'— ^>R=:±i.
Si nous multiplions par c les deux membres de celte égalité,
il vient
aR'c— bKcz=z±c.
En comparant ce résultat à Téquation donnée
ax-^ by^=:Cy
on voit immédiatement qu'on obtiendra une solution entière de cette équation, en posant
j7=i±:R'c et /=:ipRc.
Toutes les solutions entières seront ensuite données parles formules (182)
7 = qi Rc H- aÔ, ^ = ih R'c — bO.
