io4 . ao =: — I

et, en multipliant par — 8i5 les deux membres de cette égalité,

77 ( — 27.815) — io4( — 20.8i5) = 8i5.

En comparant ce résultat à l'équation donnée, on voit qu'on obtient une solution entière de cette équation en posant

et

y=z — 2o.8i5 = — i63oo.

Toutes les solutions entières cherchées sont alors comprises dans les formules (182)

JTi: — i63ooH- 77^

et

07=: — 22005 -^ lO^O.

186. Remarque. — On peut d'ailleurs toujours simplifier les relations fournies par ce premier procédé^ et dans lesquelles les termes indépendants de 6 contiennent comme facteur le terme tout connu de l'équation proposée.

Prenons la valeur de j, par exemple, et divisons i63oo par 77, eo rendant le reste de l'opération moindre que la moitié du diviseur, s'il ne l'est déjà. Le quotient sera alors obtenu par défaut ou par excès, à une demi-unité près {Arithm., 122, 232). Comme B est un entier quelconque, positif ou négatif, on a le droit de le remplacer par ce quotient pris avec le signe convenable, et l'on est certain d'obtenir ainsi pour y une valeur entière, inférieure en valeur absolue à la moitié du coefQcient de x dans l'équation donnée.

i63oo divisé par 77 donne, dans ces conditions, 212 pour quotient et — 24 pour reste, de sorte qu'on a

i63oo=77.2i2 — 24 ou 77.212 = 16300-4-24.

En faisant d = 212 dans la valeur de /, il vient donc

y = — i63oo-+- 77.212 = 24.

ALGEBRE SUPERIEURE.

liaires successivement obtenues ont toujours pour coefficients des inconnues deux des restes consécutifs qui sont fournis par la recherche du plus grand commun diviseur des nombres a et b.

Comme ces nombres a et b sont, par hypothèse, premiers entre eux, on parviendra donc toujours à un dernier reste égal à 1 {Arithm., 113), c'est-à-dire à une dernière équation

de la forme

mu -+- v'=^p.

Cette dernière équation aura pour solution entière « i= o et i>=^p; et, en remontant de proche en proche, on en déduira une solution entière de l'équation proposée.

189. Application. — Reprenons Téquation (i) 7757 — io4/ = 8i5,

déjà traitée par le premier procédé (185). On en tire

en posant

ou

L'équation (3) donne

en posant

OU

L'équation (5) donne à son tour

en posant

(7) ^^^^t" ou /'-4/'rr-l.

Nous voilà parvenu à une dernière équation où /' a pour

coefficient Tunité. On peut donc prendre, pour solution entière de cette équation, ^' = o et ^'= — i. Les équations (6), (4) et (a) conduisent alors successivement aux solutions entières

Les solutions entières de l'équation (i) sont donc renferméesy comme précédemment, dans les formules

j=r 244-77^, j?=r 43-h io4^.

190. Remarque. — Lorsqu'on rencontre, dans les divisions successives exigées par le deuxième ou par le troisième procédé, un facteur qui se présente au dividende sans entrer dans le diviseur, il faut avoir soin de le mettre en évidence de manière à simplifier les calculs subséquents.

Si l'on arrivait, par exemple, à une fraction, telle que

5 — > on mettrait en évidence le facteur 5 qui entre au di-

vidende sans entrer dans le diviseur, en écrivant — ^^ — ^ — y

et Ton poserait seulement — ^ — 1\ Le résultat final ne serait pas modifié {Arithm,^ 155).

Résolation de l'équation ax -^ by = c en nombres entiers

et positifs.

191. Lorsque a et 6 sont premiers entre eux, l'équation ax -\' byz=^c admet une infinité de solutions entières (182). Nous voulons séparer, parmi ces solutions entières, celles qui ?%Qii\ positisfes.

Si Ton met en évidence les signes des coefficients a, b^ c, on a à considérer les quatre formes suivantes :

ax -^ by ^=^Cy ax — by=^c, ax -h byrm — c, ax — by '=L — c.

La troisième forme exclut évidemment l'existence de solutions positives, et la quatrième forme rentre dans la deuxième; car peu importe que ce soit le coefficient b ou le

ALCÈBRE SUPÉRIEURE.

a qui ait le signe moins. Nous garderons donc les deux équations

mnençons par la deuxième, et soit x — «, ^ — p, >n entière quelconque de cette équation. Toutes ns entières seront renfermées dans les formules

; les solutions soient à la fois entières et positives. donner à d les valeurs entières qui satisfont aux

condîlion est donc de donner à 0 les valeurs en-

surpassent la plus grande des deux limites — ?<

■n voit C(ue l'équation ax — by ^ c admet une infi-

Mions entières et positives.

sons à l'équation ax + by :=:^c. Les formules qui s solutions entières sont

^ = a — bB, y — ?,-i-aO.

donc, dans ce cas, donner à 6 que les valeurs enlaiisfont aux inégalités

m de condition

■emplacer r par — !- + -j ■ On peut donc prendre

pour limites

e<.? + 4 et 9>-ê.

a ab • a

Par conséqueni, les solutions entières et positives de réquation ax -^ by ^= c sont données par les valeurs entières

de B comprises entre les nombres — - et — - h — r-

a a ab

On voit que l'équation aœ-^ by=zc peut n'admettre aucune solution entière et positive et que, dans tous les cas, elle n'en admet qu'un nombre limité.

Le nombre de ces solutions entières et positives est d'ail-

leurs le quotient entier qui correspond à — t> différence des

deux limites trouvées pour 0, ou ce quotient augmenté d'une unité.

Ainsi, si les deux limites étaient 29 | et 38 |, leur différence serait 9 i, et il y a wee// nombres entiers entre les deux limites. Si les deux limites étaient 29 | et 89 {, leur différence serait 9 |, et il y a dix nombres entiers entre les deux limites.

Applications.

194. i** Indiquer un nombre entier et positif tel, qu'en le divisant par 7, on trouve pour reste 5, et qu'en le divisant par 12, on trouve pour reste 1 1 .

Si ron désigne par x et par y les deux nombres entiers et positifs,

quotients du nombre cherché par 7 et par 12, ce nombre admettra les

deux formes

yx-hS et 12J-+-II.

On doit donc satisfaire, en nombres entiers et positifs, à l'équation