Nous nous bornerons à chercher le nombre PSi
de permutations de m objets ou de m lettres se partageant en groupes de a lettres a, (3 lettres 6, y lettres c,
Soient d'abord m lettres différentes a, b, Cy d, Parmi
ces lettres, rendons-en a égales à a, en les désignant pour un instant par a,, a,, a^, . . ,, a^^ Formons alors les permutations des m lettres comme à l'ordinaire; nous en obtiendi;ons un nombre P;„.
Appelons x le nombre des permutations distinctes obtenues quand on rend a lettres égales à a. Si, dans ces x permutations, on permute les lettres a^ ctu a^y . . ., a^ sans toucher aux autres lettres, chacune d'elles donne naissance à P» permutations, qui n'en représentent en réalité qu'une seule, puisqueai — a, — «, = . .. = ««= a. Comme on reproduit d'ailleurs ainsi le Tableau des P^» permutations primitives, on a nécessairement
d'où
Supposons maintenant qu'en faisant a lettres égales à a, on en fasse en outre p égales à b, en les désignant, pour un instant, par biy 6j, bt, . . ., 6p. Un nouveau nombre de permutations disparaîtra par suite de cette hypothèse. Appelons x^ le nombre des permutations qui restent distinctes après cette nouvelle modiflcation.
Si, dans ces Xi permutations, on permute les lettres 6,, 6„ 63, ..., b^ sans toucher aux autres lettres, chacune d'elles donne naissance à Pp permutations, qui n'en représentent en réalité qu'une seule, puisque Z>, =ôj = 65^= . . ,= 6p^=6. Comme on reproduit d'ailleurs ainsi le Tableau des x permutations précédentes, on a
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. SOQ
En continuant toujours le même raisonnement, on arrive évidemment à la formule générale
-PaPpPy a!p!y!...
Notions fondamentales sur la théorie des probabilités.
239. Sans entrer dans un détail qui serait hors de sa place, nous pouvons dire que Torigine de la théorie des probabilités, ainsi que celle de la théorie des combinaisons, remonte à Pascal (1623-1662), auquel le chevalier de Méré avait proposé deux problèmes sur le jeu (i654).
£n raison de T importance de cette théorie, utile dans toutes les sciences d'observation, nous en exposerons rapidement les premières notions.
240. La réalisation d'un événement quelconque dépend, en général, de certaines conditions qu'on appelle les chances de cet événement : les unes sont favorablesy les autres sont contraires à sa production. Par exemple, si l'on désire tirer une figure dans un jeu de 32 cartes, on a 12 chances pour et 20 contre, puisque, dans ce jeu, il y a 12 figures seulement.
Un événement est probable, quand le nombre des chances favorables remporte ; il n'est que possible, quand le nombre des chances contraires est supérieur. Et, à mesure que ce dernier nombre augmente, l'événement devient de moins en moins probable, sans cesser d'être possible.
Si toutes les chances sont favorables, la certitude remplace la probabilité.
24i. La probabilité niat/i(fmatique d'un événement est le rapport du nombre des cas favorables ou des cas désignés au nombre des cas pos^ sibles, lorsqu'on les suppose tous également possibles.
Indiquons quelques exemples.
Si une urne renferme 20 boules, 12 blanches et 8 noires, la probabi-
12 3 lité, pour la sortie d'une boule blanche, est représentée par — ou -
et, pour la sortie d'une boule noire, par — ^^ 5 '
La probabilité de tirer du premier coup une figure dans un jeu de
32 cartes est représentée par 5- ou g •
De C. — Cours, \\\. i4
Un dé à jouer présente six faces marquées des points i, 2, 3, 4, 5, 6. La probabilité d'amener un de ces points au premier coup de dé, sur la face supérieure ou sur la face opposée à celle qui repose sur la table, est
égale à -9 puisqu'il n'y a qu'une chance favorable sur six supposées
également possibles.
Tout le monde sait que la roue de l'ancienne loterie de France^ supprimée en 1889, pouvait amener 90 numéros, dont 5 sortaient à chaque tirage.
Prendre un extrait, c*était désigner un numéro qui devait se trouver parmi les cinq sortants pour qu'on eût gagné. Le nombre des cas possibles était égal au nombre des combinaisons de 90 objets pris ) à 5.
c'est-à-dire (221) à
Le nombre des cas yàcora^/ex était celui des combinaisons de 90 objets pris 5 à 5, qui contiennent un objet déterminé (227), c'est-à-dire celui des combinaisons de 89 objets pris 4 à 4 ou
La probabilité mathématique de gagner l'extrait était donc égale an rapport des deux expressions précédentes ou à
Sur 18 cas possibles, il y en avait donc i favorable à la personne qui prenait l'extrait, et 17 favorables à la loterie. On pariait i contre 17. La loterie, équitablement, aurait donc dû payer au gagnant 17 fois sa mise; elle ne la lui payait que i5 fois.
Lorsque, sur les cinq nunie'ros sortants, on désignait deux, trois, quatre ou cinq numéros, on prenait un ambe, un terne, un quatcrne ou un quine.
En raisonnant absolument comme nous venons de le faire pour Textrait, on trouverait :
Pour la probabilité mathématique favorable à la sortie d'un ambe
donné,
ou
on pariait i contre 399 + |, et la loterie ne payait au gagnant que 270 fois sa mise;
Poar la probabilité favorable à la sortie d'un terne donné,
et la loterie ne payait au gagnant que 55oo fois sa mise ; Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quaterne donné,
5iio38'
et la loterie ne payait au gagnant que y 5 ooo fois sa mise ; Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quine donné,
et la loterie ne payait au gagnant que i million de fois sa mise. L'administration avait fini par supprimer le quine.
242. D'après h déûnlixon didoptée (^i), la probabilité mat/i^manqtw reste la même quand on fait croître ou décroître dans un même rapport le nombre des cas favorables et le nombre total des cas possibles. C'est ce qui résulte numériquement de la propriété fondamentale des fractions {Arithm., 183).
Mais il n'est peut-être pas inutile d'étayer ce résultat d'un raisonnement dû à Laplace.
Concevons deux urnes, l'une renfermant 20 billets blancs et i5 billets noirs, l'autre renfermant le double de billets de chaque couleur, c'està-dire 40 et 3o. Pour montrer qu'il est indifférent au joueur que le tirage se fasse dans la première urne ou dans la seconde, on peut imaginer les billets blancs de la seconde urne, aussi bien que les billets noirs, réunis deux par deux par des fils. On aura ainsi 20 couples blancs et i5 couples noirs. La main qui viendra saisir et extraire un billet en entraînera deux d6 même couleur au lieu d'un; mais cela ne changera rien aux chances qu'elle a de tomber sur un billet blanc ou noir. D'ailleurs, en vertu des liaisons établies par les fils, le tirage dans la première urne équivaut au tirage dans la seconde, chaque couple de celle-ci remplaçant seulement un billet simple de celle-là.
On peut donc conclure que, dans le cas d'un événement aléatoire, l'apparition de l'événement ne dépend que du rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances, quelle que soit l'expression de ce rapport.
243. Il faut apprécier avec soin l'importance de ce qui précède au point de vue de la théorie des combinaisons et de celles des probabilités.
n ne s'agit plus, en effet, de calculer les deux termes d'un rapport, mais le rapport lui-même. Or les formules combinatoires conduiraient
rapidement, lorsque le nombre des éléments considérés croit un peu, à des calculs pour ainsi dire inexécutables, s'il fallait obtenir numériquement les deux termes de ces formules ; tandis que la valeur approchée du rapport correspondant ne dépend sensiblement que des plus hautes unités entrant dans l'expression de ces deux termes, et peut être évaluée beaucoup plus facilement.
Remarquons, à cet égard, que les éléments à combiner et, a fortiori, les combinaisons elles-mêmes, peuvent être en nombre in6ni et non assignable, sans, pour cela, que le rapport du nombre des chances favorables au nombre total des chances possibles cesse d'être fini et assignable.
Le calcul de la probabilité mathématique devient ainsi plus vaste que la théorie des combinaisons qui lui sert de fondement, puisqu'il s'applique à des cas où il serait impossible de calculer le nombre illimité des combinaisons.
C'est par cette condition qu'il peut intervenir dans les applications aux phénomènes naturels où lo nombre des combinaisons comme celui dos chances est, ordinairement, infini, c'est-à-dire où les chances se fondent, en quelque sorte, en un tout ou en une étendue continue.
Dans ce qui va suivre, nous supposerons que les chances sont en nombre fini.
244. D'une manière générale, considérons un certain événement. Soient / le nombre des chances favorables et c le nombre des chances contraires à cet événement; f-hc sera le nombre total des chances, supposées toutes également possibles ; et la probabilité /?, fm^omble à l'événement, aura pour expression (241)
La probabilité ç, contraire à l'événement, sera, à son tour,
On a
p -h q = l ou <7 = I — y?.
n sufiBt donc de retrancher de i la probabilité favorable u l'événement, pour obtenir la probabilité qui lui est contraire. Si c est nul, c'est-à-dire s'il n'y a que des chances favorables à l'évé-
nement, la probabilité favorable est exprimée par le rapport ~r ou par
Vunité. Ainsi, l'unité représente la certitudcj et toute probabilité p qui n'équivaut pas à la certitude est exprimée par une fraction proprement dite.
ii5. Remarquons que nous n'entendons parler ici que de la probabilité mathe'matique, - applicable aux chances égales susceptibles d'être évaluées exactement et numériquement.
La probabilité' morale, où les déductions numériques font place à des hypothèses impossibles à vérifier logiquement et à des intuitions de Tesprit, est tout autre chose.
246. Examinons le cas où un événement peut avoir lieu dans diverses hj'poi/ièses ou dans différents cas dont les probabilités sont inégales.
Supposons, par exemple , qu'une urne renferme n boules blanches,
n' boules rouges et n' boules noires, avec un nombre quelconque de
boules d'autres couleurs, de manière que le nombre total des boules
soit N.
' La probabilité d'amener du premier coup une boule de l'une des trois
I couleurs indiquées sera évidemment (241) le rapport
On a donc cet énoncé : Lorsqu'un événement peut se produire clans diverses hypothèses dont les probabilités sont inégales, la probabilité de cet événement est la somme des probabilités des hypothèses favo^ râbles à révénefncnt.
247. Au lieu de probabilités absolues comme les précédentes, on peut avoir à considérer des probabilités relatives.
Supposons, dans l'exemple précédent, qu'on ne tienne compte que des tirages amenant une boule blanche^ une boule rouge ou une boule noire. On peut demander quelle est la probabilité d'amener plutôt une boule blanche qu'une boule rouge ou une boule noire. Ce sera une probabilité relative qui aura évidemment pour valeur (241 )
La probabilité relative d'un événement désigné parmi plusieurs autres est donc le rapport de la probabilité absolue de V événement désigné à la somme des probabilités absolues de tous les événements comparés.
248. Un événement peut résulter du concours de plusieurs autres. Sa probabilité devient composée en raison des événements dont il dépend. 11 y a alors deux cas à distinguer,
249. I* Les événements supposés simples dont dépend l'événement composé sont inétépendants entre eux.
Supposons, par exemple, deux urnes renfermant : la première, m boules
2l4 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
blanches et n boules noires, la seconde, m' boules blanches el n' boules noires. On demande quelle est la probabilité de tirer successivement de chaque urne une boule blanche.
Le nombre des chances favorables est le nombre des arrangements qu'on peut former en plaçant après chaque boule blanche de la première urne chaque boule blanche de la seconde, c'est-à-dire
rnm'.
Le nombre total des chances est le nombre des arrangements qu on peut former en plaçant après chaque boule de la première urne chaque boule de la seconde, c'est-à-dire
La probabilité de Févénement désigné ou la probabilité composée est
donc
nim' m m'
(m -f- n){m'-i- n') rn -h n m -h n'
On a donc pour résultat le produit des deux probabilités favorables à l'existence des deux événements simples qui constituent révénement composé.
On peut généraliser en considérant plus de deux urnes et dire que la probabilité'' d'un événement composé d*uii nombre quelconque d'éve'nements simples indépendcuits est le produit des probabilités des événements simples.
Par exemple, la probabilité de tirer un as d'un jeu de 32 cartes étant
^ ou - 7 la probabilité de tirer successivement un as de trois jeux de
3 '2 cartes séparés sera
