III I
- • - •- ou — • 8 8 8 5i2
Dans l'ancienne loterie génoise, une urne contenait 90 boules portant les n*** I, 2, 3, 4, .. ., 90. Le tirage d'une boule désignée répondait à Vextrait simple^ celui de deux boules à Vambc, etc. L'ambe devenait déterminé, lorsqu'on indiquait en outre l'ordre de sortie des deux numéros. La probabilité de sortie du premier numéro indiqué était — j
celle du second numéro était évidemment^- Par suite, la probabilité de l'événement composé avait pour valeur
Quand on jouait sur l'ambe déterminé, on avait donc une chance pK>ur gagner contre 8009 pour perdre.
ALGÈBRE SUPÉRIEURE. ai5
250. ^° Les événements supposés simples dont dépend l'événement composé ne sont peu indépendants entre eux,
II faat alors tenir comple de la succession des événements simples dans l'évaluation de la probabilité de l'événement composé.
Soit une urne contenant N boules, dont n sont blanches. Quelle est la probabilité d'amener successivement 2 boules blanches, sans remettre la première tirée ^
Le nombre des chances favorables est le nombre des arrangements 2 à a des n boules blanches ou
Le nombre total des chances est le nombre des arrangements a à a de
toutes les boules ou
La probabilité composée est donc
z^ est la probabilité du premier événement simple. Gomme on ne remet
pas dans Turne la première boule blanche tirée, il n'en reste plus que
n — I , sur N — I boules en totalité ; ^___ est donc la probabilité du
deuxième événement simple dépendcmt du premier.
On peut facilement généraliser le résultat obtenu, en supposant qu'on doive tirer successivement de l'urne plus de deux boules blanches, sans en remettre aucune.
Quand les événements simples ne sont pas indépendants, la probabilité de ^événement composé est donc le produit de la probabilité du premier événement simple, d'abord par la probabilité du deuxième événement simple quand le premier a eu lieu, ensuite par la probabilité du troisième événement simple quand les deux premiers ont eu lieu, etc.
Par exemple, la probabilité d'extraire successivement les trois figures de carreau, dans un ordre quelconque, d'un jeu de 32 cartes, est représentée par le produit
De même, la probabilité de tirer successivement l'as, le deux et le trois dans un paquet de i3 cartes de la même couleur, pris dans un jeu de 52 cartes, est représentée par le produit
I I I I i3 12 II ~ 1716
2l6 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
251. Un événement composé peut avoir lieu, comme un événement simple (246), dans diverses hypothèses ou dans différents cas dont les probabilités sont inégales.
Soient, par exemple, deux urnes, Tune contenant m boules blanches et n boules noires; Tautre, m' boules blanches et n' boules noires. Quelle est la probabilité d'amener une boule blanche en tirant au hasard dans la première ou dans la seconde urne ?
La probabilité de commencer le tirage par la première urne est évidemment - ( 241 ). La probabilité d'en tirer en outre une boule blanche
est, de même,
Ainsi, relativement à la première urne, la probabilité composée est
Le même raisonnement donne, pour la seconde urne, la probabilité
composée
La probabilité d'amener, dès le premier tirage, une boule blanche, est donc finalement (246)
La probabilité d'amener une boule noire serait
La somme des deux probabilités est égale à i; et, en effet, il y a certitude qu'on amènera une boule blanche ou une boule noire.
En généralisant, on peut dire que la probabilité d* un événement coinposé, qui a des probabilités inégales dans différentes hjrpothèses, est Ui somme des probabilités composées obtenues dans chaque hypothèse,
252. On aurait pu être tenté, dans la question précédente, de prendre pour probabilité du tirage d'une boule blanche dans Tune ou l'autre urne le rapport du nombre total de boules blanches contenues dans les deux urnes au nombre total des boules considérées, savoir (241 )
m -\- n -\- mî -\- n'
On aurait ainsi négligé l'influence de la répartition inégale des boules
dans les deux urnes, et Ton voit que l'on aurait commis une grave erreur.
Si, au contraire, la répartition des boules était identique dans les deux
urnes, les deux formules, comme cela doit être, conduiraient au môme résultat.
253. Avant de terminer ces premières notions que nous compléterons plus loin, il n'est pas inutile de remarquer que des considérations spéciales, tirées des conditions physiques ou intrinsèques de la question peuvent, dans certains cas> dispenser de toute formule et de tout calcul. Ces simplifications spontanées, qui tiennent au fond même du sujet, se présentent dans toutes les branches des Mathématiques, et nous en donnerons ici un exemple.
Le jeu ûe passe-dix consiste à jeter trois dés sur une table. Le joueur gagne si la somme des points ainsi amenés surpasse dix. On demande la probabilité qu'il a de gagner ou de perdre.
Ck)mme chaque dé présente six faces marquées comme nous l'avons dit (241 ), et que la répétition du même résultat sur la face supérieure de chaque dé est admise, le nombre des arrangements possibles des six numéros pris 3 à 3 est (232) 6' ou 216.
11 faudrait, pour décider, énumérer, parmi ces 216 arrangements, ceux pour lesquels il y a passe-duc. Le rapprochement suivant résout immédiatement le problème sans aucun calcul.
Les points des dés à jouer se correspondent, de manière que leur somme, sur deux faces opposées, est toujours sept. Quand on jette les trois dés, la somme des points qui se trouvent sur leurs faces supérieures et sur les faces opposées reposant sur la table est toujours vingt et un. Par conséquent, si la somme des points supérieurs passe dix, la somme des points inférieurs remplit la condition contraire, et inversement, n en résulte qu'à chaque arrangement qui fait gagner le joueur en répond un autre, écrit sur les faces opposées, et qui le ferait perdre si les dés tombaient en se retournant. La probabilité de gagner
ou de perdre est donc la même, c'est-à-dire égale à - •
âl8 ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
