FORMULE DU BINOME. - TRIANGLE ARITHMÉTIQUE DE PASCAL

Formnle du binôme.

255^. Nous nous proposons de trouver le développement de (a- -h «)"* ordonné suivant les puissances décroissantes de a:, m étant un exposant entier et positif. Ce développement si important porte le nom ùq formule du binôme. Nous rétablirons à Taide de la théorie des combinaisons.

Nous avons vu i^Alg, élém,^ 29) que le produit de n polynômes s'obtient en formant tous les produits n à n (213) des termes des polynômes proposés, c'est-à-dire que, dans chaque terme d'un de ces produits, il doit entrer comme facteurs un terme du premier polynôme, un terme du deuxième, un terme du troisième, . . ., un terme du n**™«.

Appliquons cette règle à la formation du produit des m binômes

où tous les premiers termes sont égaux à ^ et où tous les seconds termes sont différents, et supposons qu'on ordonne le produit par rapport aux puissances décroissantes de .r.

En prenant les m premiers termes des m binômes, on a évidemment ^"*.

En prenant le premier terme x dans m — i binômes et le second terme a, b, c, . . ., ou /, dans le /n**"*» binôme, on obtient des termes de la forme aa?"*-*; et la somme de tous ces

termes est

Si l'on représente par Si la somme de tous les seconds termes des binômes, le terme en ^r*"-* du développement prend la forme S,^'"~*.

ALGÈBRE SUPÉniEURE. 'ilQ

En prenant le premier terme x dans m — 2 binômes et les seconds termes a et 6^ a et c, a et e/, . . . , ou A- et /, dans les deux binômes restants, on obtient des termes de la forme ahx"'-*; et la somme de tous ces termes est

Si l'on représente par Ss la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes, le terme en j?"*-* du développement prend la forme Sj^r'»-*.

Si Ton représente par S9 la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes, on voit de même que le terme en J7'w-' du développement est de la forme 8»a"*-'.

D'une manière générale, si l'on prend dans m — n binômes leur premier terme x et, 4ans les n binômes restants, leur second terme, on obtient des termes en x"*-'*; et la somme de tous ces termes ou le terme en j?'»-'» du développement a pour expression S^^'"-", en représentant par S^ la somme des produits nh n des seconds termes des binômes.

On obtient enfin le terme de degré o par rapport à ^ en prenant les m seconds termes des m binômes. Ce terme, produit des m seconds termes, est abcd. . .A:/, et on le représentera par S,„.

Nous aurons donc finalement l'égalité

— x'"-+-S,j:*'"~>-hS,^'"-'-h,..4-S„^"»-'»-h...4-S;n>,^-4-S,„.

255. Supposons maintenant, dans l'égalité précédente, tous les seconds termes des binômes égaux à a.

Le premier membre devient évidemment {x -h a)'". Il faut chercher ce que deviennent dans le second membre les quan-

lltes &!, ^ty ' • * f ^n9 ■ * ■ > ^/n*

S, est la somme des seconds termes des binômes; ces seconds termes devenant tous égaux à a et leur nombre étant m,

on a

Si ~- ma»

Si est la somme des produits a à 2 des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons 2 à 2 formées avec ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à a'. S^ repré-

i:ifi

ïà^

sente donc le produit de a' par le nombre des combinaisons de m objets pris 2 à a, et Ton a (221)

On trouve de même

D'une manière générale, S;» est la somme des produits /i à /i des seconds termes des m binômes ou la somme des combi> naisons nh n de ces seconds termes. Ces seconds termes devenant tous égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à a**; S„ représente donc le produit de a'* par le nombre des combinaisons de m objets pris, /i à n, et l'on a (221)

^ m(m — i)(m — 2). ..(m — n-hi) .. bn= — ^^ — K ^^ ^a".

I •2.0.a.rfr

Enfin, S,„, représentant le produit des m seconds termes dos binômes» devient égal à a"*, et Ton peut écrire

C'est la formule du binôme, dans le cas d'un exposant entier et positif.