Cette formule contient m -+- 1 termes

Les termes extrêmes sont x"*^ et a"*. Dans les termes intermédiaires, l'exposant de x va en diminuant et l'exposant de a va en croissant d'une unité, lorsqu'on passe d'un terme au suivant. Il en résulte que, dans chaque terme, la somme des exposants des deux lettres est toujours égale à m.

Quant aux coefficients, les termes extrêmes ont pour coefficients l'unité et, les termes intermédiaires, les difTérents nombres de combinaisons qu'on peut former en prenant m objets i à i, 2 à 2, 3 à 3, /t à /t, . . . , m — i à m — i .

On peut dire aussi que le coefficient du dernier terme est

ALGEBRE SUPÉRIEURE. 221

le nombre des combinaisons de m objets pris m à m, puisque ce nombre est égal à Tunité.

La formule du binôme s'écrit donc encore commodément comme il suit, en employant la notation habituelle des nombres de combinaisons :

257. Dans la j or mule du hinômey les coefficients des ternies situés à égale distance des extrêmes sont égaux.

En effet, le coefficient du terme gui en a n avant lui est

Le terme gui en a n après lui en a m — /i avant lui, puisque le développement comprend m h- i termes; son coefficient est donc C;^-'*, et Ton a démontré (226) ridentité

p« nm-n

258. Si Texposant m est impair, le nombre m h- i des termes du développement est pair; les coefficients des termes intermédiaires se reproduisent alors deux à deux, à égale dislance des extrêmes, et il suffit de calculer la moitié de ces coefficients.

Si l'exposant m est pair, le nombre m ■+- 1 des termes du développement est impair; les coefficients des termes intermédiaires se reproduisent alors deux à deux, à égale distance des extrêmes, à Texception du coefficient du terme du milieu qui n*a pas de correspondant; il faut alors calculer la moitié plus un de ces coefficients.

259. Les termes du déi^*eloppement se déduisent successivement les uns des autres, d'après une loi très simple.

Le terme général étant celui qui en a /i avant lui, écrivons ce terme et celui qui le précède immédiatement, en les désignant par T„ et T„-,. Nous aurons

Et l'on peul remarquer que l'exposant de a indique combien le terme considéré a de termes avant lui, tandis que l'exposant de X indique combien ce terme en a après lui.

En divisant membre à membre les deux égalités posées, il vient évidemment

ce qui démontre que, /?owr passer d'un terme quelconque du développement au suivant, il faut multiplier le coefficient du terme donné par l'exposant de x dans ce terme et le diviser par l'exposant de a dans le terme qu'on veut former; puis augmenter l'exposant de a et diminuer celui de x d'une unité.

260. Si l'on a à effectuer le développement d'une puissance entière et positive d'un binôme de forme quelconque, tel que 8 a' -f- 5 a' 6, on pose

et l'on détermine, d'après la règle précédente, la puissance correspondante du binôme A h- B. On exprime ensuite les différentes puissances de A et de B, en fonction de a et de h.

261. La formule trouvée (256) ne dépend pas du signe de a. Si le second terme du binôme donné cbange de signe, cette formule subsiste donc. Seulement, dans le développement, les termes qui contiennent a à une puissance impaire cbangent de signe, de sorte que les termes sont alternativemeni positifs et négatifs. On a ainsi

{x — a)'" — x"'—Clax'"-^ -f- GJ,a*x'"-«— CJ,a^r'«-» -^ . . .

Remarques et conséquences relatives à la formule du binôme.

262. Nous croyons utile de préciser les remarques faites an n^258.

D'après la règle établie au n» 259, en multipliant le coefficient du terme général T„ par la fraction

nous formerons le coefficient du terme suivant. Les coefficients du développement vont donc en augmentant tant que cette expression est supérieure à Tunité ou que la condition

est satisfaite. De cette inégalité, on déduit

et Ton doit distinguer deux cas :

1® m est impair, — Si m est impair, m — i est pair, et n

peut recevoir la valeur L'inégalité (2) se changeant

alors en égalité, il en est de même de Tinégalité (i). L'expression devient donc égale à Tunité, et le terme T„+, a le

même coefficient que le terme T„.

Dans cette hypothèse, le rang /i -4- i du terme T;^ est égal à

On est donc, à cet instant, parvenu au milieu du développement : le terme T,, en termine la première moitié, le terme T„+, en commence la seconde.

L'exposant de a dans le terme T^ est n ~ ; l'exposant

de œ dans le même terme est (256) m — n=i —

Dans le cas où m est impair^ on reconnaît donc quon est arrivé au milieu du développement, à ce fait que, dans le dernier terme formé, l'exposant de x est supérieur d'une unité à U exposant de a.

2» m est pair. — Si m est pair, m — i est impair, el n ne

peut recevoir la valeur

Pour /i^= 1, Tinégalité (2) est toujours satisfaite, el

le coefficient du* terme T^+i augmente encore. Mais, pour

/i = — ) l'inégalité (2) change de sens, et il en est de mêaie

de Tinégalité (i). L'expression devient donc moindre

que l'unité, et les coefficients du développement commencent à diminuer.

Le coefficient maximum répond, par suite, à /i = — • Dans

cette hypothèse, le rang n -h i du terme T„ est égal à

hi.

On est donc, à cet instant, parvenu au milieu du développement, et le coefficient du terme T,, ne se répète pas,

L'exposant de a dans le terme du milieu étant /i = — >

l'exposant de x dans le môme terme est m — n =^ — .

Dans le cas où m est pair, on reconnaît donc qu'on est ar^ rivé au milieu du développement, à ce fait que, dans le der^ nier terme formé, les exposants de x et de a sont égaux.

263. Ce qui précède conduit immédiatement à la solution de la question suivante :

Parmi les nombres de combinaisons qu'on peut obtenir avec m objets, en les prenant iài,2à2, 3â3, , , ., m à m, quel est le nombre maximum?

On n'a évidemment (256) qu'à chercher quel est le plus grand coefficient du développement de la /n'*"»** puissance d'un binôme quelconque.

Si m est impair, il y a au milieu du développement deux coefficients égaux plus grands que tous les autres, et qui ont pour expressions (262)

L/rt et L„^

Si m e^t pair, le coefficient maximum du développement est celui du terme du milieu et a pour expression (262)

La question posée est ainsi résolue.

ALCÈBRE SUPÉRIEURE. 225

Par exemple» on obtient le plus grand nombre de combinaisons qu'on puisse former avec 7 objets, en les prenant 3 à 3 ou 4 à 4* On obtient le plus grand nombre de combinaisons qu*on puisse former avec 10 objets, en les prenant

26i. Si l'on suppose, dans la seconde expression du développement de {x -h a)'" (256), j? = a = i, on trouve

La somme des nombres de combinaisons qu*on peut former en prenant m objets i ^ i, 2 à 2, 3 à 3, . , ., m à m, est donc égale à 2"* — i.

265. Si Ton suppose aussi, dans l'expression du développement de (x -—«)"• (261), a?=:a = i, on trouve

O ^::^ 1 — \j,„ -\- Li,,, Vj,,, -|- . . . Zt Li,„ III , . . itl C,„ .

Quand on considère toutes les combinaisons formées en prenant.m objets I à I, 2 à 2, 3 à 3, . , ., m à m, le nombre des combinaisons ou il entre un nombre impair d'objets surpasse donc toujours d'une unité le nombre des combinaisons où il entre un nombre pair d'objets.

Nous venons de voir (264) que la somme de ces deux nombres est 2"» — i. Le premier a, par conséquent, pour expression 2'"-* (c'est un nombre pair), et le second, 2'"-* — i (c'est un nombre impair).

266. Il résulte de là un fait assez curieux qui montre bien que, dans le Calcul des probabilités (239 à 253), il faut se défier des premiers aperçus. On pourrait être tenté de croire que, en prenant au hasard un certain nombre de boules dans une urne, il est indifférent do parier qu^on en tirera un nombre pair ou impair. Pourtant, en pariant pour un nombre impair, on a toujours une chance do plus qu'en pariant pour un nombre pair, puisque le nombre des combinaisons impaires l*emporte toujours d'une unité sur le nombre des combinaisons paires (265). En d'autres termes, au jeu de pair ou non, on a avantage à parier impair.