B A ^ ^ BA’ AE’ ED

bn ae ed bn' ~~ ne' ed'

On en déduira

BC A ECD

bca ace ecd

Fie i46

DigitizGd bv Googk

GÉOMÉTHIC.

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En appliquanl alors un lluiuréme connu, on aura

■+■ ACE + EI,D BÇA ^ CBAEl)

bca -I- ace -i- cc3” lien ba^ cbaeil b(0

Si l’on désigne par S et i les surfaces des deux polygones, ’ par A et a deux de leurs côtés homologues, on aura

—1 d ou a‘

Par conséquent, lorsqu’on veut amplifier ou réduire un polygone dans un rapport donné, Y échelle à employer pour les cotés homologues est égale à là racine carrée du rapport des surfaces des deux polygones, c’est-à-dire à la racine carrée du rapport donné.

149. Le rapport des aires de deux polygones réguliers semblables est égal à celui des carrés de leurs rayons ou de leurs apothèmes.

Désignons par S eti les aires des deux polygones, par P et p leurs périmètres, par R et r leurs rayons, par A et a leurs apothèmes. On aura

d’où

et s— (^^3),

Nous savons d’ailleurs (126) qu’on a

Si l’on remplace — par le rapport égal —i il viendra

150. Deux cercles sont propoitionnels aux carrés de leurs rayons.

Soicntdeux cercles quelconques dont les rajons sont R et R'. On aura (144)

cercle R = TT R’, cercle R' = r R'\

d’ou

cercle R R’

cercle R' R’’"

io6

i;ÉoMÉTniE.

Les (lires de deux sec leurs semblables sont [uojwrtionnelles aux carrés de leurs rayons.

(Jii enU'iid par secleurs semblables ceux (jiii onl pour bases des arcs semblables, c’est-à-dire d’un mtîme nombre de de-

grés.

Désignons les aires de ces secleurs par S et S', par R ei R' leurs rajons, par n le nombre de degrés de leurs bases. Nous aurons (liS)

jtR’«

3üo ’

ttR'»

d’où

îil

Les aires de deux segments semblables sont .proportionnelles aux carrés de leurs rayons.

Ou entend par Segments semblables ceux tjui correspondent à des secteurs semblables. Désignons par S et T les aires du secteur et du triangle dont le |)remier segment est la différence, par S' et T' les aires du secteur cl du triangle dont le second segment est la différence. Les deux secleurs et les deux triangles étant semblables, on aura, en apj)elanl R et R' les rayons des cercles dont font partie les deux segments,

d’oii

En général, les aires de deux surfaces iptelconques semblables sont proportionnelles aux carrés de deux lignes homologues tracées d'une manière quelconque dans les deux surfaces.

Problèmes relatifs aux aires semblables.

D'il. Construire un polygone semblable à un polygone donné et tel, que les aires des deux polygones soient dans un rapport donné [Jig. '47)’ Supposons d’abord que le polygonedonné soit un carré. 11 faudra construire un carré (|ui soit au carré donne <‘Oinme deux lignes données M et N sont entre elles. Soit A le côté du carre donné, \ le côté du carré eberebé.

On devra déterminer \ de manière à satisfaire a la r ondition

lO"

GÉOMÉTRIE

Sur une droite indéünle, prenons BC = M, CD=N. Sur Bl) comme diamètre, décrivons une demi-circonférence et menons à BD la perpendiculaire CE. Joignons le point E aux extrémités B et D, et prolongeons, s’il est nécessaire, les droites EBct ED. Portons sur ED une longueur EG égale au côté A et, par le point G, menons GF parallèle à BD. Le triangle rectangle FEG donnera •

Ët? = ÏÏG

Nous aurons d’ailleurs, à cause des parallèles BD et FG (98),

Fil BC HG “Cl)’

Il en résulte