EG’ “ CD A> “ N

EF est donc le côté du carre cherché.

Si les deux carrés devaient être proportionnels à des nombres donnés, on remplacerait ces nombres par des lignes Rivant entre elles le même rapport, et l’on opérerait comme nous venons de le dire.

Supposons maintenant un polygone quelconque P. Je représente par a l’un de ses côtés, et je désigne par a: le côté homologue du polygone X. On devra avoir, d’après l’énoncé,

Mais les deux polygones devant être semblables, on aura aussi

il en résulte

. • rt’ N

La <|uestion se trouve donc ramenée à trouver le côté d'un carré qui soit à un carré donné comme deux lignes données sont entre elles, problème que nous venons de résoudre. Quand on aura trouvé le côté x homologue de a, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P (121).

La recherche d'une échelle de réduction (122) revient a ce qui précède. Supposons que Faire du plan doive être la mil-

lionième partie de Faire du terrain. On aura — = >

n’ I ooouoo

io8

GÉOMÉTHIF..

(l’on - = IJhacluc lienc (lu plan doil donc (}lre la niil-

a I oüo *

liènie parlie de la lipne (jui lui correspond sur le terrain ; en ’ d’autres tonnes, i** doit y (*tre représent<5 paro",ooi. Telle sera r(îchelle à adopter.

Deux Jlgures semblables étant données, construire une Ji{iure semblable é j'aie à leur somme ou à leur différence.

Soient A et 11 l(*s deux polygones donnés, X le polygone cherché; soient « et b deux C(‘iiés homologues des polygones A et B, X le coté homologue du polygone \.

<ln aura

On déduit de la première égalité

A rt’

Si l’on compare alors ce dernier résultat à la relation — = — ,

on voit (jiie X étant supposé égal à A±B, il faut qu’on ait = La question sera donc ramenée à trouver l’un

des côtés d’un triangle rectangle, (|uand on connaît les deux autres. Lorsqu’on aura trouvé x, on construira sur ce côté, homologue du côté a ou du côté b, un polygone semblable au polygone A ou au polygone B.

153. Construire un polygone semblable à un polygone donné et équivalent à un autre polygone donné.

Il s’agit ici de transformer un polygone 1’ donné en un polygone équivalent 0, semblable à un autre polygone donné A. Désignons par a un côté (jucicomjue du polygone A, par x le côté homologue du polygone cherché Q. On devra avoir \

^ • Les deux polygones 1* et Q devant être équivalents,

celte relation revient à

Rempla(jons les polygones A et P par les carres équivalents M’ et N'; il viendra

GÉOMÉTRIE

Le cùlé X psl donc une qnaiiiènie proportionnelle aux trois lignes M, N, a. Il restera à construire sur le côté x un polygone semblable au polygone A. '

154. Trouver deux longueurs pi;oportionnelles à deux polygones donnés quelconques.

On peut toujours remplacer les polygones ronsidérés par les carrés équivalents. Désignons les côtés de ces carrés par n et représentons les longueurs chercltces par x et j. On doit avoir >*

— = On peut choisir arbitrairement l’une des longueurs,

r par exemple, et la prendre égale à a’. 11 viendra alors

— — — , doux=— ce qui équivaut a -=- • x sera donc

rt’ .r a ^ a X

une troisième proportionnelle aux côtés a' et n.

QUESTIONS PROPOSÉES

CiiAPiTERE I. — 1“ Transformer un triangle rectangle en un triangle isocèle équivalent, le.s deux triangles devant avoir un angle rmnmun.

a” Inscrire dans un cercle un trapèze de hauteur et de surface données.

3" Par un point donné dans le plan d’un angle, mener une sécante telle, que l’airedu triangle obtenu ait une valeur donnée.

Par un .sommet d’un quadrilatère, mener une droite qui divi.se sa surface en deux parties équivalentes.

5" Calculer la surface d’un traiièze en fonction de ses cotés.

6" Chercher l’aire d'un dodécagone régulier en fonction de son rayon.

7" Diviser un cercle on moyenne et extrême raison par une circonférence concentrique.

8" Partager une longueur donnée en trois parties telles, que l’aire du triangle correspondant soit un maximum.

CiiAciTRE II. — 1" Cxinstruire un triangle équilatéral équivalent à la somme ou à la dilTérence de deux polygones donnés.

Par un point donné, mener une droite (jui divise la surface d’un trapèze en parties proportionnelles à deux lignes données.

3" Chercher le rapport des aires de deux hexagones réguliers, l’un inscrit et l’autre circonscrit au même cercle.

■1“ Mener une parallèle à la base d'un triangle, de manière que Taire du trapèze formé soit moyenne proportionnelle entre les aires des deux triangles dont il est la dill'érence.

5" Diviser un trapèze en un nombre quelcoiu|ue de parties équivalentes par des parallèles .à ses bases.

r.ÉOMÉTHie.