I. — Notions préliminaires

155. Nous S.1VOUS déjà que le plan est une surfaee telle, , •qu'une ligne droite y est contenue tout entière îles qu’elle v a deux points.

Lors(]u’un plan n'est astreint qu’à passer par une droite donnée, sa jwsition dans l'espace n’est pas déterminée. On peut.

en effet, lui faire occuper une infinité de positions dans l’espace en le faisant tourner autourde cette droite comme axe [Jig. i48). Mais on conçoit que sa position sera fixée d’une manière précise , s’il doit passer, en outre, par un point donné lioi-s de la droite AB. Nous le démontrerons d’ailleurs directement.

Lorsqu une droite et un plan se coupent, leur intersection est un point, sans quoi la droite co’inciderait avec le plan. Days ce cas. la droite traverse le plan; elle est partie au-dessus, partie au-dessous. Le point d’inters(»etion de la droite et du plan s’appelle le pied de la droite dans le plan.

L56. Par trois points donnés non en li"ue droite, on peut toujours faire passer un plan, mais on n'en peutfairepasser qu’unseul [fg.

Soient .A, B, C, les trois points donnés; menons les droites AB et .•M’.. On pourra toujours, d’après ce qui précède, faire passer un |)lan que je désignerai i>ar G, par la droite AB et le point C. Je dis que tout autre plan 11 satisfaisant aux mêmes conditions coïncidera avec le plan G. En effet, je jïrends dans le plan tl un point quelconque G, et je mène par ce point une droite {'h coupant les deux droites AB, AC,.

Fig. i.Vj.

Fig. i.'|8.

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• CÉOHÉTHIE.

C(!S doux dioilfs ('•lanl aussi par livpoilioso dans lo plan II, la droite y aura doux points l't y sera oont(>nue tout entière; de sorte que tout point (1 de l’un des deu,x plans appartient à rautro. Ces deux plans coïncident donc dans toute leur étendue.

Deux droites qui se coupent étant dotcruiinées par trois points non en lif'ne droite, ileiix droites <jui se coupent déterminent aussi un plan.

De même, comme nous l’avons déjà dit, une droite et un point hors de cette droite déterminent un plan.

Deux droites parallèles déterminent un plan; car deux droites parallèles étant dans un même plan pardofinition, tout plan passant par rune d’elles et un point de l’autre contient cette , autre tout entière.

On voit (ju’on peut regarder un plan comme engendré par le mouvement d’une droite (]ui, |)ass3iit ])ar un même point de l’espace, s'appuie consUunment sur une droite donnée. En effet, la droite mobile sera toujours dans le plan déterminé par la droite et le point donnés.

De même, une droite glissant parallèlement à elle-même en s’appuyant sur une droite donnée engendre un plan. En effet, la droite mobile sera toujours dans le plan déterminé par l’une (juelconque de ses positions et la droite donnée.

Un triangle est toujours dans un même plan déterminé par ses trois sommets. Il n'en est pas toujours ainsi d’un quadrilatère, dont les quatre sommets peuvent n’être pas situés dans un même plan. Dans ce cas, le (piadrilatère considéré est un quadrilatère franche. Même remarque pour un polygone.

ün représente ordinairement un plan par un quadrilatère tracé dans ce plan; mais comme il s’agit d’une surface illimitée et, par conséquent, sans forme déterminée, il faut concevoir le plan prolongé au delà du contour du polygone qui sert à le figurer.

157. L’ intersection de deux plans est une ligne droite. En effet, si l’on pouvait trouver sur l’intersection des deux plans considérés trois points non en ligne droite, ces deux plans coïncideraient (loti) et ne se couperaient pas.

L'intersection de trois plans est un point; car cette intersection est le pied de l’intersection des deux premiers plans dans le troisième plan.