II. — Des droites et des plans perpendiculaires

158. Lorsqu’une droite et un plan se rencontrent, on dit qu’ils sont perpendiculaires l’un à l’autre lorsque la droite estper|)endiculaire à toutes les droites (jii’on peut mener par son pie«l dans le plan. Une droite est oblique, à un plan lorsqu’elle ne remplit pas cette condition.

GÉOMÉTRIE

Pour qn une droite soit perpendiculuire à un plan, il suffit quelle soit perpeiulieulnire à deux droites qui passent par son pied dans ce plan i5o).

Soit la droite AB perpendiculaire à deux droites BC et BD qui passent par son pied B dans le plan P. Je dis qu’elle sera perpendiculaire à toute autre droite BE menée ])ar son pied dans ce plan.

Traçons une droite quelconque qui ren-' contre les droites BC, BI), BE, aux points C, D, E. Prolongeons AB au-dessous du plan d’une longueur BA'=.AB. Joignons les points C, D, E, aux points A et A'. Les deux triangles ACD, A'CD, sont égaux : ils ont le coté CD commun; le côté AC est égal au côté A'C, car dans le plan ACA', les deux obliques AC et A'C s’écartent également du pied de la perpendiculaire CB élevée sur AA'; le côté AD est égal au côté A'D pour une raison analogue. L’égalité ’ des deux triangles ACD, A'CD, entraîne celle des deux angles ACE, A' CE. Les deux triangles ACE, A' CE, sont alors égaux comme ayant un angle égal comjiris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Par suite, AE = A'E. La droite BE ayant alors, dans le plan AEA', deux de ses points à égale distance des extrémités A et A', est perpendiculaire sur AA' ou sur AB (2o). AB est donc perpendiculaire à une droite quelconque BE du plan P, c’est-à-dire perpendiculaire à ce plan.

La figure précédente donne un exemple de deux droites AB et CD qui, sans être parallèles, ne peuvent jamaisse rencontrer. iMais alors les deux droites AB et CD ne sont pas situées dans un même plan, puisque CD est dans un plan que AB ne fait que traverser au point B. Lorsque deux droites ne sont pas situées dans un même plan, leur angle est l’angle formé par la première droite avec une parallèle menée à la seconde droite par un point quelconque de la première (175).

159. Par une droite \B [fg- i5i), on peut faire passer une infinité de plans, et par le point B, on peut élever dans chacun de ces plans une perpendiculaire à la droite AB. \ insi, dans l’espace, on peut élever en un même point d'une droite une infimté de perpendiculaires : Je dis que toutes ces droites seront dans un seul et même plan. Par les deux perpendiculaires B(! , BD, élevées à AB au point B, dans les plans ABC, ABD, je fais passer un plan P. Par AB, je fais passer un plan quelconque ABE <|ui coupera le plan P suivant BE. AB étant perpendiculaire au plan P"(158), sera perpendiculaire à BE. BE est donc la per-

GÉOMÉTRIE. Il3

ppnüiculaire élevée à AH au poiiU B, dans le plan ABE. Le lieu des perpendiculaires considérées est donc le plan V élecé per-' pendiculairement à AB au point B. • '

Ce théorème conduit à un nouveau mode de pénéralion du plan. On peut le regarder comme engendré par le mouvement d’une droite (jui reste constamment perpendiculaire à une droite donnée en un point donné.

160. I^ar un point donné, on peut toujours mener un plan perpendiculaire à une droite, mais on n'en peut mener qu’un seul.

Si le point donné était sur la droite donnée, en B par exemple, sur AB {Ji". i5i', on mènerait à AB dans les deux plans ABC, ABD, les deux peipendiculaires BC, Bl), et l'on leraii passer un plan I’ par les detix droites obtenues. Ce plan serait perpendiculaire à AB au point B, et fl Ji’y en a (ju’un qui puisse remplircelte condition (139).

Supposons le point donné O situé hors de la droite AB [fifç. 1 52). Le |ioint O et la droite AB déterminent un plan (156). Fia i5i Dans ce plan, j'abaisse OC perpendiculaire sur AB. J'élève au point C, dans le. plan ABD, la perpendiculaire CD à AH, et je fais passer un plan P par les deux droites CO .et Cl). Ce plan sera perpendiculaire à AB au point C et passera par le point O; et il n’y en a qu’un qui puisse remplir ces deux conditions, puisqu’on ne peut abaisser du point O sur AB que la perpendiculaire OC.

161. l^ar un. point donné, on peut toujours mener une perpendiculaire à un 'plan, mais on n'en peut^mener qu'une seule.

Supposons le point O donné dans le plan P [f". i53). Je mène par ce point une droite AH dans le plan P; par le même point, je fais passer un plan 0 perpendiculaire à .\B : ce plan coupe le planPsuivanlune droite CD [ 137). Au point O, dans le plan Q, je trace OH perpendicülaire à CD: c’est la perpendiculaire demandée.*

En effet, 011 est déjà perpendiculaire à CD ; AB étant perpendiculaire au plan Q est perpendiculaire à 011, OH est donc perpendiculaire à AB : 011 étant perpendiculaire à deux droites qui passent par son pied dans le plan 1’, est perpendiculaire à ce plan.

Toute autre droite que 011, passant par le point 0, est oblique au plan P; car si la droite considérée est dans le plan Q, II. . 8

Fie. ir.3.

GÉOMÉTRIE

elle esl oblique à CD, el si relie droile est bois du plan Q, elle *esl oblique à AH (l-W ).

Supposons le point O donné hors du plan P [Ji^. i54). Je mène dans le plan P une droite AB; par le point O, je fais pa.sser un plan Q perpendiculaire à AB ; ce plan roupe le plan P suivant une droile r.l). Dans le plan 0, je trace OU perpendiculaire sur t;U : c’est la perpendiculaire demandée.

En effet, OU esl déjà perpendiculaire ^ CD.M enons dans le plan P la droile queT^^^*^Ir^ conque HA. Prolongeons OH au-dessous du plan d’une longui'ur HO' = OH ; joignons les points B el V aux points O el O'. Les deux triangles ABO, ABO', sont égaux i. comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. La droile AB étant perpendiculaire au plan Q, l’angle ABO esl droit, ainsi que l’angle ABO'; le côté AB esl commun ; le côté BO est égal au côté BO', car dans le plan OBO' les deux obliques BO, BO', s’écartent également ^ du pied de la perpendiculaire BH élevée surOO'. L’égalité des deux triangles ABO, ABO' entraîne l’égalité des droites AO et AO'. La droile AH ayant deux de ses points à égale distance ' des extrémités O et O', dans le plan OAO', esl perpendiculaiix' sur 00' ou sur OH. OH, à son tour, esl perpendiculaire à HA, c’est-à-dire à une droile quelconque du plan P; par conséquent, OH est bien perpendiculaire au plan P.

Toute autre droile, telle que OA, menée du point 0 au plan P, esl oblique à ce plan ; car le triangle OHA étant rectangle en U , l’angle A esl aigu.

162. Si d’iiri point pris hors d’un plan, on lai mènr ane perpendiculaire et plusieurs obliques : In perpendicalaire est plus courte que toute oblique ; deux obliques qui s'écartent également du pied de la perpendiculaire sont égales ; de deux obliques inégalement distantes du pied de la perpendiculaire, celle qui s’écarte le plus est la plus grande [Jig. 1 55 ) .

Soient le point A el le plan P, la perpendiculaire AB el les obliques AC, AD, AE.

Dans le plan ABC, la perpendiculaire esl plus courte que l’oblique quelconque AC.

Supposons BC = BD. Les doux triangles rectangles ABC,

ABD, seront égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. Par suite, les deux obliques AC, AD, sont égales.

Fig, i55.

Fig. i54

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(iÉOMÉTIUF:. I l 5

Supposons BE >■ BC; On pourra prendre Bl) = BC ; on aura alors AD = AC. Mais, dans le plan .\BE, on a AE > AD (2i). i On aura donc aussi AE > AC.

Les réciproques de ces propositions sont évidenies. En particulier, lorsqu’une droite représente la plus courte distance d’un point à un plan, elle est |)eri)endiculaire à ce plan.

Le lieu des pieds des obliques qui, passant par le point A, sdnl égales à AC, est la circonférence décrite du point B comme centre avec BC pour rayon. Il en résulte que si, du point A, avec une longueur convenable, on marque sur le plan P trois points C, D, F, également éloignés du point A, le centre B de la circonférence déterminée par les trois points C, D, F, sera le pied de la perpendiculaire abaissée du point A sur le plan P.

, 163. Le lieu géométrique de tous les pointt de l'espace à égale '• distance des extrémités d’une droite donnée, est le plan mené perpendiculairement d cette, droite par son milieu [Jig. i56).

Soient la droite AB et le plan P, perpendiculaire à AB au point O, milieu de AB.

Soit C un point quelconque du plan P ; dans le plan ACB, les deux obliques C\ et CB seront égales comme s’écartant également du pied de la perpendiculaire OC. Tout point du plan est donc à égale distance des extrémités de la droite. Soit D un point quelconque extérieur au plan P : dans le plan ADB, les distances DA et DB seront inégales, parce que le point D est hors de la perpendiculaire OC élevée sur le milieu de AB. Tout point extérieur au plan est donc inégalement distant des extrémités de la droite. Le plan P est donc bien le lieu géométrique indiqué.

.Trois points non en ligne droite suffisant pouY déterminer un plan (l56), dés qu’un plan aura trois de ses points non en ligne droite à égale distance des extrémités d’une droite donnée, il sera perpendiculaire sur le milieu de cette droite.

164. Soient la droite AB perpendieulaire au plan t* et la droite OU quelconque dans le plan P; si l’on abaisse BE perpendiculaire sur CD et si l'on joint AE, AE sera perpendiculaire sur VA) [fig. '

Je prends EC = ED. Je joins les points C et D aux points B et A. Les droites BC et BD seront égales comme s’écartant également du pied de la perpendiculaire BE dans le plan P. Dès lors les droites ’AÇ et AD seront égales comme uÉ)liques s’écartant également du pied de la per-

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ii6 cÉoMÉTiue.

pendiculaire AB. Le triangle CAD étant isocèle, la droite AE ^ qui joint son sommet A au milieu de la base (^D sera perpendiculaire sur cette base.

La proposition qu’on vient de démontrer est connue sous le nom de Théorème des trois perpendiculaires.