III. — Des droites et des plans parallèles

Fig. i58.

165. Lorsque deux droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire -à l’tme est perpendiculaire à l'autre {Jig. i58).

Soient les deux droites parallèles .\B, CD, et le plan P perpendiculaire à AB. Les deux droites AB et CD détermineront un plan qui coupera le plan P suivant BD. AB étant perpendiculaire à BD, il en sera de même de sa parallèle Cl). Au point D, dans le plan P, menons DE perpendiculaire à BD. Si l’on joint .\D, la droite AD sera perpendiculaire à DE d’après le théorème des trois perpendiculaires (164). DE étant perpendiculaire à deux droites du plan ABCDsera perpendiculaire à ce plan et, par suite, à CD, CD, à son tour, étant perpendiculaire à deux droites qui passent par son pied dans le ]>lan P, sera perpendiculaire au plan P.

166. La réciproque du théorème précédent est vfaie. Deux droilés perpendiculaires à un même plan sont parallèles

[fis- '58). •

Si les droites AB et CD sont perpendiculaires au plan P, elles sont parallèles. En effet, si l’on menait par le point D une parallèle à AB, elle serait perpendiculaire au plan P (165): cette parallèle se confond donc avec CD ( 161 ).

Il résulte de là que deux droites parallèles à une troisième dans Fespace sont parallèles entre elles. C.ar le plan perpendiculaire à la troisième droite le sera aux deux premières, qui dès lors seront parallèles.

167. Une droite e*t un plan sont parallèles, lorsqu'ils ne se rencontrent pas, quelque loin qu’on les prolonge.

Toute droite parallèle à une droite d‘un plan est parallèle à ce plan [fig. iSg).

Soit la droite AB parallèle à la droite CD du plan P. Les deux parallèles .AB et CD détermineront un plan Q dont l’intersection avec le plan P sera la droite (]D. La droite AB étant dans le plan Q, ne pourrait rencontrer le plan P qu'en coupant CD : la droite .AB et le plan P sont donc parallèles.

11 si^jt de là qu'/rne droite et un plan sont parallèles, lorsqu’ils sont perpendiculaires ù une même droite. Si le plan P

Fig. i5g.

GtOMÉTRIR.

Fig. 160.

et la droite AB sont perpendiculaires à la droite AC [fig. iSg), le plan BAC coupera le plan 1* suivant une droite Cl) perpendiculaire à AC, et par suite parallèle à AB.

168. Si la droite est parallèle au plan P, tout plan ABCD conduit par AB coupe, le plan P suivant une parallèle CD à AB [Jig. iSg).

En effet, les deux droites .\B et CD sont dans un même plan, et AB ne peut pas rencontrer CD, droite du plan P (167).

Il en résulte que toute parallèle menée par un point C du plan P à la droite AB, elle-même parallèle au plan P, est tout entière dans le plan P [ fig. i5g).

En effet, la droite .\B et le point C suffisent pour déterminer le plan ABCD, dont riiuerseclion CD avec le plan P est parallèle à AB.

Si par deux droites parallèles on mène deux plans qui se coupent, leur intersection sera parallèle aux 'deux droites données [Jîg. 160). Car, quel que soit le plan mené par AB, le plan conduit par CD viendra le couper suivant une droite EF parallèle à CI), et par conséquent à AB, puisque CD est parallèle à AB.

169. Les portions de droites parallèles, comprises ei^tre une dioite et un plan parallèles, sont égales.

Soient [Jig. i5g) les parallèles AC et BD comprises entre la droite .AB et le plan P qui sont parallèles. Le plan ABCD coupera le plan P suivant la droite CD parallèle à AB (168). La figure ABCD sera donc un parallélogramme, et l’on en conclura AC,= BD.

Les droites AC et BD pourraient être perpendiculaires au plan P : elles mesureraient alors les distances de deux points quelconques de la parallèle AB au plan P. On voit donc qu'une droite et un plan parallèles sont partout également distants.

170. Deux plans sont lorsqu’ils ne se rencontrent pas quelque loin qu’on les prolonge.

Deux plans perpendiculaires à une même droite sont évidemment parallèles (160).

Le lieu géométrique de toutes les parallèles menées par un point donné à un plan donné, est le plan mené parallèlement par le point donné au plan donné [Jig. 161).

Soient le point A et le plan P. Menons AC, droite quelconque parallèle au plan P. Du point A, abaissons AB perpendiculaire sur le plan P. Le plan CAB coupera le plan P suivant la droite BD parallèle à AC(168)>

Fig. 161.

GÉOMÉTRIE

\B étant perpendiculaire à BD, le sera aussi à sa parallèle AC. Ainsi, toutes les parallèles menées par le point A an plan P sont perpendiculaires à la droite AH au point A. t^es parallèles déterminent donc le [dan per[iendienlair(! à Allan point A (159), c’està-dire un plan |)assantpar le point A [jaraHèlement au |)lan P.

Deux droites <|ui se cou|)ent siiriisenl pour déterminer un [dan (loti). Par conséipient, un p/un f-s/ pnnd/tte à un autre, torsqn’il contient deux droites qui se coupent, respectivement purullè/es à deux dr oites du premier p/an ( 1G7).

171. /,es intersections de deux p/ans purrd/è/es pitr fig. iCiî. un troisième p/uu , sont purrd/è/es

{Jig. itia).

Sidenl les deux plans P et 0. coupés [lar le plan H suivant les droites A et B. Ces droites sont dans un même jtlan et ne peuvent se renconiier, puis(|ue les [dans P et Q ne [Hiuvent avoir aucun [loinl Commun : elles sont donc parallèles.

172. Si deux plans sont parallèles, toute perpendiculaire à l’un est perpendiculaire à l'autre [fig. i63).

.Soient les deux plans parallèles P et Q, et soit AB perpendiculaire au plan P. Je trace par le point A, pied de AB dans le plan P, une droite quelconque AC. Le plan CAB coupera le plan Q suivant une droite BD, et les droites AC et BD seront parallèles ( 171 ). AB étant perpendiculaire à AC, le sera aussi à BD. AB est donc perpendiculaire à une droite quelconque du plan Q, c’està-dire perpendiculaire au plan Q. ,

Il résulte du théorème qu’on vient de démontrer que, par un point donné, ori ne peut mener qu’un seul plan parallèle à un plan donné (160).

De même, deux plans parallèlesà un troisième sont parallèles entre eux. En effet, si l’on mène au troisième plan une droite perpendiculaire, les deux autres plans seront perpendiculaires à la même droite, et dès lors parallèles entre eux (170).

• 173. Les portions de droites parallèles comprises entre deux 1 plans parallèles sont égales {Jig. i64).

. Soient les parallèles .AB et CD comprises entre les plans parallèles P et 0- Ces parallèles détermineront un plan ABDC qui coupera les plans P et Q suivant les parallèles AC et BD (171). La Ggurc ABDC étant un parallélogramme, on en conclut AB=CD.

Fig. 164.

rC /

Fip. i(î!t

GÉOMÉTRIE

J.es droites AB et CD pourraioiil être perpendiculaires au plan P : elles mesureraient alors les distances de deux points quelconques du plan 0 au plan P. Deux plans parallèles sont donc partout éfralenient distants.

Deux droites quelconques sont coupées en parties proportionnelles par trois plans parallèles (fig. i65).

Soient les deux droites quelconques AB, CI), situées ou non dahs le même plan (158), coupées par les trois plans parallèles P, Q, R. Je joins BC. J'ai ainsi le plan ABC qui coupe les deux plans P et Q suivant les droites parallèles AC et LM, et le plan BCD qui coupe les plans Q et R suivant les droites parallèles MN et BD (171). J’aurai donc

Fig. i65.

BL BM BM ^ . BL DN

LA“MC’ MC~NC’ LA“NC‘

Il viendra aussi, en composant les termes de ces rapports,

jU BA PC