BL “ DN LA ■“ NC
On peut remarquer que les droites BA et BC partant dir même point et étant coupées par les deux plans parallèles P
BL BM
et Q, on a immédiatement
175. Deux angles qui, dans l’espace, ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens, sont égaux et leurs plans sont pitrallèles [fig. it>6).
Soient les deux angles CAB, FDE. Je prends sur les côtés parallèles AC et DF des longueurs égales AC et DF, et sur les côtés parallèles AB et DE, des longueurs égales AB et DE. J’achève les triangles ACB et DFE, puis je mène les droites AD, CF, BE. Les côtés AC et DF éunt égaux et parallèles, la Figure ACFD est un parallélogramme, et les droites AD et CF sont égales et parallèles. Les côtés AB et DE xiunt égaux et parallèles, la figure .ABED est un parallélogramme, et les droites AD et BE sont égales et parallèles. Lesdeux droites CF’ et BE, égales et parallèles à la droite AD, sont donc égales et parallèles entre elles (166) : la figure CBEF est un parallélogramme, et l’on a CB == FE. Les deux triangles ACB, DFE, étant égaux comme ayant leur trois côtés égaux chacun à cha cun, l'angle CAB est égal à l’angle FDE.
Les plans P et Q de tes deux angles sont parallèles, car
Fig. i6C.
r.ÉOMF.l RIE.
les deux droites FU et ED sont parallèles aux deux droites .C.i etBA(170).
rv. — Des angles dièdres.
176. On appelle aiifrle dièdre la figure formée iiardcux plans qui se coupent [Jig, lü"). L’intersection BE de ces plans P
et Q est V arête de l’angle dièdre ; les plans P et Fig. 167. Q ggj,
On désigne un angle dièdre par son arête : on dit l'angle dièdre BE. Lorsque plusieurs angles dièrlres ont la même arête, on les désigne au inojen de quatre lettres, deux pour l’arête et une pour chaque face; on a soin d’énoncer au milieu les deux lettres qui marquent alors l’arête : on dit l'angle dièdre ABEF.
Pour avoir une idée exacte de la grandeur d’un angle dièdre.
il faut supposer que le plan Q était d’abord confondu avec le plan P, puisqu’il s’en est écarté en touinantautour de l’arête BE comme axe, de manière à prendre sa position actuelle. L’amplitude de ce mouvement de rotation correspond à la grandeur de l’angle dièdre.
Deux angles dièdres sont adjacents [fig. if>8), lorsqu’ils ont la même arête, une face commune et les deux autres faces
Fig, 169.
situées de part et d’autre de la face commune.
Deux plans qui se coupent' forment deux angles dièdres adjacents [Jig. 169). Si ces deux angles dièdres PÂBM,*PABN sont égaux, le plan P est per.
pendiciiiaire sur le plan MN, et les angles dièdres formés sont
des angles dièdres droits. Dans tout autre cas, le plan P est oblique au plan M\.
177. Soit unangle dièdre BE(ytg^. 1(17 ). Elevons à l’arête BE, dans chaque face, au point B les iierpendiculaires B.\,et BC, au point E les perpendiculaires ED et EF. Les angles .\BC, DEF, seront égaux comme ayant leurs côtés parallèles et dirigés dans le même se.ns (173). L’angle constant ainsi formé par deux perpendiculaires élevées dans chaque face en un même point de l'arête d'un angle dièdre, s’appelle l'angle rectiligne de l'angle dièdre considéré.
On appelle souvent l’angle rectiligne d’un angle dièdre l'angle plan correspondant à l'angle dièdre donné.
Lorsque deux angles dièdres sont égaux, c’est-à-dire peuvent co'incidcr, leurs angles rectilignes iont évidennneni égaux.
GÉOMÉTRIE
I ai
Réciproqueiiieiil, lorsque tes angles rectilignes de deux angles dièdres sont égaux, ces angles dièdres sont égaux
[fg- >7o)-
Soient les dièdres AB, EF, dont les angles rectilignes CBD, GFU, soûl supposés égaux. Portons le second dièdre sur le premier, de manière que l’angle GFH coïncide avec sort égal CBI> : l’arèle FE perpendiculaire au point F au plan GFH, prendra alors la direction de l’arête BA perpendiculaire au point B au plan GBl). Les deux plans ABC, EFG, auront donc deux droites coinimines et coïncideront (156) ; il eu sera de même des plans .\BD, EFH. Les deux angles dièdres .AB et EF coïncidant, seront égaux.
Lorsque l’angle rectiligne d'un angle dièdre est droit, cet angle dièdre est droit ( 176).
Soit le dièdre PEFM (fig. 171 ) dont l’angle rectiligne ABC est droit. Je prolonge la face MEF, de manière à former un second angle dièdre PEFN. Les deux angles dièdres PEFM, PEFN, sont adjacents et déterminés par deux plans qui se coupent. L’angle rectiligne du second dièdre s’obtiendra en prolongeant CB suivant BD. L’angle rectiligne .ABC étant droit, son supplément ABD sera aussi droit. Les angles rwiilignes ABC, ABD, étant égau\, il en sera de même des angles dièdres correspondants PEFAI, PEFN, qui seront alors droits.
Fie
178. Le rapport de deux angles dièdres quelconques est égal au rapport de leurs angles rectilignes [Jig. 172).
Fig. 171.
J’admets que. le rapport des deux angles rectilignes ABC, A'B'C', est
égal à c’est-à-dire que ces deux
angles rectilignes ont une commune mesure contenue 5 fois dans ABC et 3 fois dans A'B'C'. Si par chaque rayon de division cl par chaque arête correspondante on fait passer des plans, on partagera l’angle ABÜC partiels et l’angle A'B'D'C' en trois Ces angles dièdres partiels seront tous égaux entre eux , parce qu'ils correspondront à des angles rcclilignCs égaux (177), et l’nn d’eux sera une commune mesure des angles dièdres ABDC, A'B'D'C'. Le
en cinq angles angles dièdres
dièdres
partiels.
GÉOMÉTRIE
rapporl des deux angles dièdres sera donc égal à (omine
celui de leurs angles reelilignes. Si les deux angles reclilignes n’avaienl pas de commune mesure, on suivrai! la marche déjà indiquée (63).
179. Lorsqu’on fait correspondre l’iinilA li’an^le dièdre à l’unité d’angle rectiligne, le même nombre abstrait représente, la mesure de l’angle dièdre et celle de son angle rectiligne.
L’angle droit étant runitc d'angle rectiligne, on prendra pour unité d’angle dièdre, l’angle dièdre droit (177). Si l’on suppose dans la ligure précédente, l’angle A'B'C' droit, on aura donc
ABDC ABC
Le rapport de ABDC à un dièdre droit est la mesure de l’angle dièdre ABDC, le rapport de ABC à un droit est la mesure de l’angle rectiligne ABC (64) : les deux mesures sont donc bien exprimées par le même nombre abstrait.
En ayant toujours présentes les explications qui précèdent, on pourra employer sans inconvénient la locution plus rapide, mais inexacte : tout angle dièdie a pour mesure son angle rectiligne.
Lorsqu’on dira qu’un angle dièdre est un angle de 27“ 3o', cela voudra dire que son angle rectiligne est un angle de 27“3o'(64).
180. On dit que deux angles dièdres sont opposés par inrede, lorsque les faces de l’un sont les prolongements des faces de l’autre.
I.orsque deux plans se rencontrent, les angles dièdres adjacents formés sont supplémentaires, les angles dièdres opposés
par l’aréte sont égaux [fig. i^S).
Je mène, par un point O de leur intersection AB , dans chacun des plans donnés, les perpendiculaires CD et EF à celte intersection. Les angles rectilignes EOC,, EOD, étant supplémentaires, il en sera de mèmedes anglesdièdres adjacents PABQ , PABO'. I .es angles rectilignes EOC, FOD, étant égaux comme opposés par le sommet, il en sera de même des angles dièdres opposés par l’arête PABO, O'ABP’.
181. Les réciproques des deux propositions précédentes sont vraies (IV); nous démontrerons seulement la première.
bigiti, .;d by Coogli
OÉOMÉTRIE.
ia3
Si deux angles dièdres l’AUQ, l’ABQ', qui sont dans la position d’adjacents {llü), sont supplémentaires, leurs faces non communes forment un seul et même plan [fig- 173).
Lu suinine des angles dièdres proposés étant égale à deux droits, la somme de leurs angles rectilignes EOC, EÜÜ, sera aussi égale à deux droits : 01) sera donc le prolongement de OC. Par suite, les deux faces (J et Q' ayant deux droites communes AB et CD, se confondront ( 151)).
On démontrerait facilement, en s’appuyant sur les théorèmes de la Géométrie plane (]ui concernent les propriétés correspoinlanUïS des lignes droites, que : si un plan rencontre deux plans parallèles, les angles dièdres alternes-internes, alternes -ex ternes ou correspondants, sont égaux; les angles dièdres, intérieurs ou extérieurs d’un même coté, sont supplémentaires. Les réciproques de ces propositions sont vraies, pourvu (]ue les arêtes des angles dièdres considérés soient parallèles. De même, deux angles dièdres dont les arêtes sont parallèles, sont égaux ou supplémentaires, lorsque leurs faces sont parallèles ou perpendiculaires chacune à chacune.
