V. — Des plans perpendiculaires

182. Si lu droite KH est perpendiculaire au plan 0, tout plan passant par \B est perpendiculaire, au plan Q [fig. i74)-

Fii;. 17L

Menons dans le plan Q, à l’intersection des plans P et Q, la perpendiculaire BE. L’angle rectiligne de l’angle dièdre formé par les plans P et 0 sera l’angle ABE, et cet angle est droit puis(|ue la droite AB est perpendiculaire au plan Q. Le plan P est donc perpendiculaire au plan Q (17Ü).

^ 1 83. Lorsque deux plans sont perpendiculaires l’un à l’autre, Uoute droite menée dans l’un d’eux perpendiculairement leur intersection commune, est perpendiculaire à l’autre plan

{fin- '74)-

Les deux plans P et Q étant perpendiculaires, je mène dans le plan P la perpendiculaire .\B à l’intersection CD des deux plans. Je trace, dans le plan 0. BE perpendiculaire à CD. L’angle .ABE, étant l’angle rectiligne de l’angle dièdre formé par les plans P et Q,.sera droit; et la droite AB, perpendiculaire aux deux droites CD et BE qui passent par son pied dans le plan Q, sera perpendiculaire à ce plan.

il résulte du théorème qu’on vient de démontrer que si, d’un point quelconque du plan P perpendiculaire au plan Q. on ahaisse une perpendiculaire sur le plan Q, elle sera tout entière dans le plan P (fg. >74)-

En effet, la perpendiculaire abaissée du point A sur le plan Q,.

OÉOMÉTIWE.

Fig.. 175.

ia4

se confondra avec la perpendiculaire AB abaissée du point A sur l’interseciion CD ( 161 ).

Le plan P perpendiculaire au plan Q, peut donc être regardé comme le lieu des perpendiculaires élevées au plan Q par les différenis points de l’intersection (]D.

On appelle projection d’un point sur un plan le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur le plan. La projection d’une ligne quelconque sur un plan est l’ensemble des projections de tous ses points sur ce plan. Il résulte de’cequi précède que lorsqu'une droite est oblique à un plan, sa projection siir ce plan est une droite..

Soient la droite AB et le plan 0 [f>g- '75). Je projette le point A en a. l.es deux droites AB et Aa détermineront un plan P perpendiculaire au plan Q (J 82).

Toutes les perpendiculaires abaissées des, différents points de AB sur le plan Q seront contenues dans le plan P, et leurs pieds se trouveront distribués sur l’intersection ai des deux plans.

On voit en même temps que, par une droite donnée, on ne peut mener qu’un plan perpendiculaire A un plan donné, pourvu que la droite et le plan donnés ne soient pas perpendiculaires entre eux.

184. Lorsque deux plans qui se coupent sont perpendiculaires à un troisième plan, leur intersection l’est aussi [fig. '7<j).

Fig ,-6 Soient les deux plans P et Q, qui sé cou-

pent suivant AB et sont perpendiculaires au plan K. Si par le point A on mène une perpendiculaire au plan H, elle sera à la fois .tout entière dans le plan P et tout entière dans le plan 0 ( 183) ; elle se confondra donc avec leur intersection AB.

Oi-

185. Lorsque deux droites ne sont pas situées dans un même plan, on peut toujours leur mener une perpendiculaire commune, cette perpendiculaire représente leur plus courte distance [Jig.

Soient les deux droites AB et O) non situées dans un même plan. Par un point de (^1), je mène EF parallèle à AB : le plan Fig. des droites Cl) et EF sera parallèle à la

B droite AB (167). Lue droite et un plan

^ parallèles étant partout également dis-

tants (169), la plus courte distance des , . -fci 7" droites AB et CD est néces.saircment égale

/ ' |>H - / à la distance d’un point quelconque de

— ^ AB au plan K des droites CD et EF'. Pour

céuMÉTIIIE. I aS

délerminer cette plus courte distance, je mène par A B un plan I* perpendiculaire au plan R et par (JI) un plan (j perpendiculaire au plan R. Ces deux plans se couperont suivant une droite KM qui joindra un point de AB à un point de CD et qui, étant perpendiculaire au plan R ( 18i), sera à la fois perpendiculaire aux droites CD et HG ou t^D et AB, puisque Hü est parallèle à AB (lt>8) ; c’est-à-dire que KH sera à la fois la perpendiculaire commune aux deux droites données et leur plus courte distance.

180. Lorsqu’une droite est oblique à un plan, l'angle quelle forme avec sa projection sur ce plan est le plus petit de tous les angles qu’elle forme avec toutes les droites menées par son pied dans le plan donné [fig. 178).

Soient la droite AB et le plan I*. D’un point quelconque B de la droite AB, j'abaisse sur le jilan P la perpendiculaire Bi.

Fip ,-8. A/» représentera la projection de la droite AB

sur le plan P (183). Menons dans le plan P la droite quelconque A(], prenons A<] = Kb et joignons BC. Les deux triangles AB6, ABC, auront deux côtés égaux ; mais le troisième côté Bô du premier triangle sera plus petit que le troisième côté Bt^ du second triangle, parce que la perpendiculaire Bè est plus courte que l’obli(]ue BC. L’angle BAA sera donc moindre que l’angle BAC.

La propriété qu'on vient de démontrer, conduit à mesurer l'inclinaison d'une droite sur un plan, par l’angle que forme cette droite avec sa projection sur ce plan. ’’