CHAPITRE II

DES ANG1.es POI.Vf.DRES ET, EN ■PARTICIÜ.IFR , DES ANGI.ES TRifcDRES

Fî<t

187. On appelle angle polyèdre la figure formée par plusieurs plans qui passent par le ttiéme point ^{fg. 179) et sont terminés à leurs intersections. Le point S est le sommet de l’angle polyèdre, les intersections successives S.V, SB, SC, etc., en sont lesrtr<f*/ei. Les plans qui constituent l'angle polyèdre sont \cs faces de cet angle. On donne aussi le nom de facesoud'n«g"/es/;/o«jde l’angle polyèdre aux angles formés par deux arêtes consécutives quelconques. L’angle polyèdre considéré a pour faces lesangles ASB, BSC,CSD,etc.

On désigne un angle polyèdre par la lettre (pii maniue son sommet ou bien par celte

Di.

GÉOMÉTRIE

lettre suivie des lettres qui marquent les arêtes successives. On (lira l’angle polyèdre S ou l'angle polyi-dre SABCDR.

Lorsqu’un angle polyèdre n’a que trois faces, ce (pii est le plus petit nombre possible, il prend le nom d angle trièdre.

Les angles dièdres formés par les faces d'un angle polyèdre sont les angles dièdres de cet angle polyèdre. Lorsqu’un angle trièdre contient un angle dièdre droit, il est rectangle ; il est hi-rectangle on tri-rectangle, s’il renfernre deux ou trois angles dièdres droits. Le plafond et les murs d’un appartement forment, en se rencontrant, des angles trièdres tri-rectangles.

On dit qu’un angle polyèdre est convexe, lorsqu’il est tout entier d’un même c(^lé par rapport à cbacnne de ses faces indéfiniment prolongées. Jl est concave dans le cas contraire [Jig- i8o).

Tout plan qui rencontre un angle polyèdre convexe en coupant tontes les arêtes d’un même côté du sommet S (/g'. 179) donne évidemment comme intersection un polygone convexe ABC.DE.

Si l’on prolonge au delà du sommet les . arêtes d’un angle polyèdre, on obtient [fis un autre angle polyèdre SA'B'L'D'E' dont tous

les éléments sont égaux à ceux du premier angle polyèdre : les faces sont égales comme opposées par le sommet, les angles dièdres sont égaux comme opposes par l’arete. Mais on voit que la disposition des parties égales n’est pas la meme dans les deux angles polyèdres, de sorte riu’ils ne sont jws sunernosables. On a donné à ces angles polyèdres le nom d angles polyèdres Nous reviendrons sur ce cas particulier.

188. Dans tout angle polyèdre, une face quelconque est plus petite que la somme de toutes les autres.

En particulier, dans tout angle trièdre, la plus grande face est plus petite que la somme des deux autres [Jig. 181 ).

Je forme, dans la face .\SB que je suppose la plus grande, un angle ASI) égal à la face ASC, et je prends SI> = ^-

le point 1), je mené une droite AliB qui coupe les deux arêtes SA, SB, et je joins le point C aux points A et B. Les deux triangles ASI», .ASC, sont égaux comme ayant un angle égal compris entr(î deux côtés égaux chacun à chacun , et l’on en conclut .AI)= AC, Le triangle -ACB donne AB ou AD -t- DB AC-H CB.

Le segment DB est donc plus petit que CB. Les deux triangles DSB, CSB, ont alors deux côtés égaux, mais le troisième coteDB du premier est plus petit que le troisième côté CB du second.

Fis. '**'

GÉOMÉTRIE. ISpr

Par suile, l’aiiÿ^le DSB esl |iliis pelil(|ue l'angle i;SB, el la Tare ASB esl plus peiile que la somme des deux faces ASC, I^SB.

Pour élendro le théorème au cas d’un angle polyèdre quelconque.fon n’a qu’à le décomposer en angles irièdres, en menant par l’une de ses arêtes SV et les arêtes opposées, SC, SI), les plans ASC, ASI) [Jig. 179). La démonstration est

évidente.

18!). Dans tout angle polyèdre convexe, la somme de toutes les faces esl inférieure à quatre angles droits [Jig. 182 ).

Fi(î i8a. coupe l'angle polyèdre par un plan qui

rencontre toutes les arêtes au-dessous ilu sommet S, j'obtiens comme section le polygoné convexe ABCDE. Je prends un poiiitO quelconque dans l’intérieur d(? ce polygone, et je le joins aux sommets \, B, (], I», E. j'ai au point A un angle trièdre lormé par les (aces SAB, SAE, BAE. D’après le théorème précé- . ire : BAE ou BAO -t- OAE<^SAB-(-SAE.

J'aurai de même, en considérant les angles Irièdres formés en B, en C, en 1) el en E :

ABO -H OBC < SBA -+- SBC, BC< ) -4- ÜCI) < SCB SCD ,

Si l'on ajoute toutes ces inégalités membre à membre, on trouvera que la somme des angles à la base des triangles dont le sommet esl en O, est inferieure à la somme des angles à la base des triangles dont le sommet esl en S. Comme ces deux séries de triangles sont en même nombre, il faut, par compensation, que la somme des angles au sommet soit plus grande dans les premiers triangles que dans les seconds. Or, la somme des angles formés autour du point O est égale à quatre angles ••• ' ' droits; la somme des angles formés autour du point S, c'esl- ' à-dire la somme des faces de l'angle polyèdre, est donc inférieure à quatre angles droits.