Etant donné un angle dièdre, si l'on abaisse d’un point

pris dans l'intérieur de cet angle une perpendiculaire sur chacune de ses faces , l’angle ainsi formé est le supplément de l'angle rectiligne de l'angle dièdre considéré [Jig. 1 83 ) .

Soient le point A, la perpendiculaire AB abaissée sur la face P, la perpendiculaire AC abaissée sur la face Q. Les deux perpendt*^ ciliaires AB el AC détermineront un plan perpendiculaire aux deux faces de l angle

Fig. 18Î.

128 GÉOMÉTRIE

dièdre (182) el, par consèquenl, à son arèle ( 18'» )• L’angle BD(’. sera donc l’angle recliligne du dièdre (P, (Ji). Le quadrilalère ACDB élanl inscriplible à cause des angles droits en B el en C, l’angle BAC est bien le supplément de l’angle BDC.

Le point A pourrait être situé sur l’arête de l’angle dièdre; dans ce cas, les perpendiculaires .seraient élevées •iur les faces. L’angle ainsi construit serait égal au précédent; car ces deux angles auraient leurs côtés parallèles, et dirigés en sens contraires.

Le lemme que nous venons d'établir va nous conduire à une propriété importante d(*s angles irièdrcs.

Étant donné un ongle trièdre, si d’un point pris dans l'intérieur de cet angle on abaisse des perpendicidaires sur ses trois faces, ces perpendiculaires formeront un angle trièdre dont les faces seront les suppléments des angles dièdres du trièdre proposé; réciproquement, les faces du premier trièdre seront les suppléments des angles dièdres du second trièdre f ftg. i84).

Les deux droites S' A' cl S'C' élanl perpendiculaires sur les deux faces BSC, ASB, de l’angle dièdre dont l’arête est SB, l'angle A'S'C’ sera le supidéincnl de l’angle recliligne du dièdre SB ou de ce dièdre lui-mème. De même, la face B’S'C' sera le supplément du dièdre SA, et la face A'S'B' sera le supplément du dièdre SC.

Réciproquement , les droites S' A' el S'C' élanl perpendiculaires aux faces BSC, ASB, leur plan A'S'C' est perpendiculaire à la fois à ces deux faces, el par suite à l’arête SB. ()n prouverait de même que l’arête S\ est perpendiculaire à la face B' S'C', el l’arète SC, à la face A'S'B'. L’angle trièdre SABC présente donc, par rapport à l’angle trièdre S'A'B'C', une disposition analogue à celle du second angle trièdre par rapport au premier. Leurs propriétés mutuelles sont donc nécessairement réciproques, c’est-à-dire que les faces du premier trièdre sont les suppléments des dièdres du second trièdre.

Les deux angles Irièdres considérés ont reçu le nom d’rmgles trièdres supplémentaires. La considération des angles Irièdres supplémentaires a une grande importance.

Le point S' pourrait être confondu avec le point S; dans ce cas, les perpendiculaires seraient élevées sur les face.s : la conclusion resterait la même.

Si l’on désigne par a, b, c, les faces d’un trièdre, par A, B, C, ses angles dièdres, les faces du trièdre supplémentaire auront pour expression.s .

Fiç.

si

GÉOVIÉTBIF,.

Fig.

coïncide avec son dièdre SA, la face

épale

él les angles dièdres de ce niC-nie uiedie, . . ' , ,

, 180" — :ii, 180“ — h, i8o‘* — c."-? ' ' '

191. Nous allons parcom ir les différeiils cjis'd'i-^uliU* des an- ' gles Irièdpes. ^

I “ Deux niifrles Irif-tirrs son t f'^aitx lorsqu 'Us uni un un frie Uièihe égal compris en Ire deux faces égales chacune à chacune et

seinhluOte/nenl disposées \Jig. i85).

Supposons l’angle dièdre S\ égal è l'angle dièdre S' A', la l;ice AS»

égale à la facÆ A' S'»', la lace ASC égale à la face VS' (7. .le irausporle le Irièdre S'A'IIT,' sur le Irièdre SA»C, de luanière que la face A'S'»' AS». Le dièdre S'A' étaul égal'au lomlxira sur la face ASC, el comme elles sont égales, l’arèie SC prendra la dirticliou de l’arèle S'(7 : •les deux angles irièdres ajaiil les mêmes .arèles, coïncideronl.

2“ Deux angles Irièdres sont égaux lorsqu'ils ont luu' face égale comprise entre deux angles dièdres égaux chacun à chacun et semblablement disposés \Jig. iBl).

Supposons la face AS» égale à la face A'S'»', le dièdre SA ' égal au dièdre S'A', le dièdre SB égal au dièdre S'»'. Je iransporle le irièdre S' A'B'C' sur le Irièdre SAÜC, de manière que la face A'S'»' coïncide avec son égale AS». Le dièdre S'A'élaiu égal au dièdre SA, la face A'S'C' lombera .>lur la face ASC; le dièdre S' B' étanl égal au dièdre SB, la face B'S'C' lombera sur la face BSC. L’arèle S'C' lornbanl à la fois dans, les deux faces ASC, BSC, se confondra avec leur inlerseclion SC, ei les deux angles Irièdres avant les mêmes arèicsj coïncideronl.

3” Deux angles Irièdres sont égaux lorsqu’ils ont leurs trois faces égales chacune à chacune et semldublement disposées •{//g-. 188).

Je prends sbr lesarêles ^'2 du premier irièdre des

longueurs SA = SB=.SC. Je prends aussi sur leï> arèles du second Itièdn; des longueurs S'A', S'»', S'C', égales entre Viles et à SA. Je forimf ensiiiie leslrianglesABC.A'B'C'.

l.es six triangles isocèles déierminés ASB. A'S'B', ASC, A'S'C', BSC, B'S'l]', seronl égaux deux à deux eoinmo avant un angle égal compris entre deux côté» égaux : on en conclura l’égalilé des côiéÿ AB et A'»',