I.ÙOMKI lUE. l
193. Lolit/iie deux uiigles trièiiies ouf- deux feu es émules chacune à chacune comprenant, un an^l& dièdre inégal, au Kii;. 190. ^ plus grand angle tlièdre est opposée une
plus ficunde face [Jig. ii)o).
Soient les doux iiiigle.s irièdrcs SAIU;, id:ic(';s d(Mnnni(‘r<‘ à iivoir une fac(î RSt; <'00111111110, |(?s<lfiix iinli'f's (aces <'f;alos \St-l cl <’.S1> toinlKinl dans les deux ti;i<!drcs de |iarl cl d’antre île la face conmume. Si le dictlre ASCII est pins grand <|iio le diîklre DSCR, je dis- <]ue la lace A.SR sera pins grande qne hi lace RSD. Menons par l'angle SC un plan CSE qui partage le dic'drc total ASCU en lienx parties <*gaJes : le plan CSE tombera fomîincnl dans riiiK'rièlir du dièdre ASCR et coupera la lace \SR suivant la droite SE. I.es deux ang^les irièdrcs S\CE, SCED, seront égan\. comme ii)ant un dièdre égal compris entre deux laces égales diai'une à chacnne (191 ), et laface ASE si-ra |iar suite égalité la face KSD. Mais le Irièdre SERD donne
RSl) < BSE + ESD.
Si l’on remplace ESD par son égale ASE, il viendra
BSD<ASB.
La récipixupie de celle proposition est évidente.
On remarquera l’analogie de plusieurs des théorèmes préi'édenis avec ceux demonU'és’snr les triangles dans la géométrie plane. . ' -i*
lOG. Ihtns tout angle trièdre, la somme des trois angles dièdres, est comprise entre deux et sijt dièdres droits : chaque angle dièdre augmenté de deux, dièdres droits est plus grand que la somme des deux autres angles dièdres.
Dé'signons par «, .•/>, c, les faces du trièdre supplémentaire du trièdre proposé. Les angles dièdres de ce dernier irièdre auront pi'mr expressions :
leur somme sera donc égale à
R'* — (il -f- A -t- c). ■ ' •
’Oi la somme in-A-i-c des faces d’nh lifèdre quelconque est plus grande que /.éro et inférieure à 4 <Uoils (189); la somme des trois dièdres d’un trièdre quelconque sera donc plus petite que R droits et |»lus grande que 2 droits.
Désignons par A, B, C,, les. angles dièdres du irièdre consi-
déri’ ; les laces du triédre snpplétneiilaire auroiii pour expressions
Dans tout iricdre, une face (|uelcuiu|ui‘ élanl plus pelile <|uc la Mumne des de'u^ autres, on pourra <*< rire :
Il + ?.'*• — -C, d’où A -I- a** B -i- (I.
1!)7. (^/i toujours foriiirr un iirtfrle trit-dre avec trois
J'iiVfS (lonnrrst lorsijttr la j>liis "riaido rsl jdus j)elite ijue la somme (les deux autres, et ldur~ somme entière jdus petite que
l'iü- 00 ■
4 droits [Jijf. lOi),.
t^es condi lions sont nécessaires, puisfju'elles sont remplies touies les fois ,)u’un auf^le Irièdre est fomié 181)); il faut prouver qu’elles sont sulïisanies.
Je suppose les trois laces don- ” n('•l■s AS(], ASB, BS(,', développées
dans le |dan 'de la plus ;;iande , les deux autres de part et d’antre de la plus grande. J’indiipie le dédouhleinent de l’arête S(J en la désignant par St; dans la face \SC, par SC' dans la face BSt;. Je décris du point S, comme centre, a\ec un rayon arbitraire St; un arc de cercle i'X'.' , et cet arc de cercle sera moindre qu’une circonférence puisque la somme des trois faces don- , nées est mférieure à 4 droits. Des points t; et C', j’aljaisse sur les arêtes S\‘ et SB les |ierpendiculaires Ce, C'c'. On aura
(>n a d'.nlleurs
At;i
et
Bt;' = Bc’.
-t- BC',
puis(|iie la face \SB est plus petite que la somme di» deux . êices ASt;, BSf,'. On aura (loue aussi
. AB< Ac-t- Bc'.
I.e point c doit donc être situé entre li's points B et c', comme lé iioinl c' entre les points A et v. Les points C et C' étant d’ailb'urs plaçi's de côtés différents par rapport aux arêtes S\ et SD, les deux cordes (;c et <;'c' se couperont en un point O situé dans rintérieiir de la circonférence.
Élevons au poipl O une jierpendiculaire OM au plan ASB, et dans le plan t;OM construisons le triangle rectangle DOM dont l’hypoténuse DM est égale à^DC, Joignons lo point S au point M ainsi délermîm*, je dis qiu* le triédre SABM a pour faces les trois faces données. Kii effet, les deux triangles SDC, S^DM. sont rectangles en D, <ar, d’après le tliéorème des trois per-
Digilizedljy
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pondiculaires, MDèsi pei pendiculaiiesurSA ; el ils ont les deux Cillés de l’angle droit (‘gaux, puisque DM = D(.. La lace ASM sera donc égale à la fiiCe ASC. De nièine, si l’on joint ME, les deux triangles rectangles SEC', SEM, seront égaux ; riivpolénuse SC' est égalé à l'iixpotenuse S',1, pui‘^pi on a SM = SC d’après l’égalité îles triangles précédents, et le côté SE est commun. La face liSM sera donc aussi égale à la face BS(7 on BSC.
QUESTIONS PROPOSÉES
Ciiafithk I. — 1* Tracer par un point donné une droite qui en rencontre deux autres non siUiée.s dans an même plan.
a" Mener à une droite doiiniie une parallèle qui rencontre deux autres (Iroile.s non situées dans un même plan.
1“ Trouver le lieu des poinis de l es-pace également éloignés de Irofs points donnés non en ligne droite.
■l" Lorsipie deux plans qui se coupent sont parallèles .à une même droite, leur intersection l’est aussi.
')'■ Deux plans menés perpendiculairement à un mémo plan par deux droites parallèles sont, parallèles’; il en résulte que' les projections de (jeux (Iroités parallèles sur un. mémo plan sont (tarallèles.
(i“ Si sine droite, est perpendiculaire à un plan, l’inTersoclion de ce plan avec un plan- quelconque el la projection^ de la droite sur le même plan, sont (ierpemliculciires.
7" Une droite est également inclinée sur deux plans nui se. coupent, Jorsqii'èllo les perce, en deux poinis également distants de leur intersection. Examiner la réciproque de celle proposition.
CiiAi'iTnE 11. — i" Toute section faite dans un angle trièdre rectangle |>ar un plan perpendiculaire à l'une de ses acèles, est un triangle rectangle.
ï" Si l’on coupe un angle trièdre tri-reclangio par un plan quelconque, le point de rencontre des hauteurs du irianglcdélerminé est la projection du sommet de l'angle trièdre sur le plan du triangle-
•3". Couper un angle polyèdre à quatre faces par un plan, de manière qnè la section soit un parallélogramme.
GÉOMÉTRIE
L1\RK QUATRIEME.
