Théorèmes généraux sur les prismes

ÜOO. l.es sections faites dans un prisme par des plans parallèles qui rencontrent toutes les faces latérales, sont des polygones égaux if g, iqJx).

Soit le prisme VH, soient les deux sefcliôns jiarallèles LMNOI*, QltSTU. J.es côtés de ces j^i, sections seront parallèles comme intersections' de deux plans parallèles par un Iroisième,' et ces côi(«s seront égaux comme portions «le parallèles comprises entre parallèles.

Los deux polygones obtenus seront donc égaux, car ils auront leurs côtés ég.tnv ei leurs angles égaux, comme formés par des droites jiarallèles et dirigées dans le même setis.

■ Lorsipie la section est déterminée par un

plan perpendiculaire aux arêtes lalé-rales du prisme, elle prend le nôm de section droite du prism'm

GliOMÉTRlE. l3y

201 . Deux prismes son! éffiux lorsqu’ils ont un angle dièdre égal, compris entre une base et une face égales chacune à chacune et semblablement disposées

{Jif!- '96)-

Supposons les ileu\ prismes AH,

■ A' H'. Soient le dièdre AB égal an dièdre A' B', la base AB(;t)E égale à la base A'B'C'D'E', la face ABGF égale à la lace A’B'G'F'. Portons les deux prismes l’iin sur l’autre, de majiièrc que les bases égales coïncident. Le dièdre A'B’ étant égal au dièdre AB, la face A'B'G'F' tombera dans le plan de la face ABGF. D’après l’égalité de ces deux faces, l'angle ABG est égal à l’angle A'B'G' : l’arèlc B'G' prendio donc la direction de l'arête BG, et le sommet G' coïncidera avec le sommet G, puistpi’on a B'G' = BG.

. Une fois la coïncidence ties deux buses inférieures établie, '‘ainsi que celle de deux arêtes latérales BG, B'G', il résulte de la régie inditinéc pour ja construction d’un prisme ,{ 100), que tous les autres sommets des deux bases supérieures des prismes considérés devront aussi coïncider. Ces deux prismes euxmêmes se confondront donc ei seront égaux.

L’égalité des deux bases inférreures exige 2/1 — 3 conditions ( W); comme AB est alors égal à A'B', l'égalité des deux faces latérales -n'exige- plus (lue deux conditions, puisque tes faces sont des parallélogrammes; enfin l'égalité des deux angles dièdres compte pour ïine condition. L'égalité de deux prismes Ail, A' 11', exige donc an conditions, en désignant par « le nombre des côtés de l'une des bases.

Deux prismes droits sont égaux lorsqu'ils ont des bases et des hauteurs égales. En effet, toutes les conditions d'égalité • indiquées dans l’énoncé du théorème précédtmt sont remplies ; lous les angles dièdres formés par les faces latérales avec les bases sont droits, toutes les faces latérales Immologucs des deux prismes sont des rectangles égaux comme avant même bjse et même bauteur.

202. Dans tout parallélipipède, les faces opposées sont égales ■ et parallèles [fig. i«)7 ).

(Considérons les dtuix faces op|)osées ADIIE, BCGF. Lesdeux côtés .AE, BF, sont égaux et [)arallèles, comme côtés opposés d'un même i)arallélogramnie ABFE ; les deux côtés AD, B(C, sont aussi égaux et parallèles comme côtés opposés d’un même parallélogramme ABtCD; les deux angkxs DAE, GBF, sont

1/jt) • GLOMÉTUIE.

par suite égaux cuiiniie avant leurs cùt(’*s jiarallfles et dirigés dans le luèinesLMis.ét les plans de cesanglessont parallèles{175).

Les (leux parallélograinmes ADHE, IK'.GF,- ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, sont (Sgaux (i8), et leurs plans sont parallèles. . '

' Cette propriété est importante : tille permet de prendre pour luises d'uii purallélipipède deux faces opposées quelconques, puis(|ue ces faces remplissent les conditions iiu|»oséesau\ hases ' d’un prisme, et (]ue les autres faces formant alors la surface, latérale du polyèdre, réunissent toujours ses deux bases en restant des parallélogrammes ^199).

Toute section faite dans un pnralléfipipède par tui plan qui rencontre deux faces opposées est un paraltélogrnnwie. En effet, si l'on considère la section IKLM, on voit (jue dans ce (juadrilatère les côtés opposi's sont |)arallèles comme inter- ^ sections de deux plans parallèles par un tndsicme.

203. Dans tout parallélipiphle, les diagonales se dicisent mu-’ tuellemenl eu parties égales.

Je considère le parallélipipède Ui,Vl les (feux diagonales. BII et DF ijîg. i()8). l.es arèttîs latérales IIF, 1)11 étant égales et

parallèles, la ngure UDlIF est un paralh’dogramme dont les diagonales liil et DF sont inégales et se coupent mutuellement en par.lies égales an point O ( W), Considérons les deux diagonah's DF d AC. Les arêtes AD <‘t FC, étant égales et parallèle;;, la ligurie ADCF est un parallélogramme

dont les diagonales DF et A^l se coupent mutuellement en parties égales: le point O étant déji lo' milieu de DF est aussi le milieu de AC; on prouverait de im'^è ijii’il est le milieu de la (piatrième diagonale (iE du paralléli-

pipède.

Si le parallélipi|)ède devient rectanglcr, les parallélogrammes qui> nous venons de considérer se transforment en rectangles, et leurs diagonales devi(;nnent égales. Les quatre il iagoniiles d’un purallélipipède rectangle sont donc égales.

Le point O est ajipelé le cc/j^/c du parallélipipède \G, parce (jiie toute droite limit('C à la surface du parallélipipèdc et passant par ce point y est partagée en deux parties (‘'gales : c'(‘st ce (]iie les deux triangles AÜK, COL, prouvent immédiatement. ■ *

20i. Dans tout parallélipipètie , la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes [ftg. (()8).

CÉOMÉTEIE. ■ I^I

Les paiiillélbyraminns A(](iE, IU)IIF, nermeiu*iil de poser (108):

. AG’ -f- Œ’ =; 2 .VE’ + 7. AC’,

BII’-J-1)F’ = 2BF’+ 7.H1)’.

Si l’on ajbiilp cos t^eiix épalilés membre à moinbre, el si t’on remarque- ijiie BP= AF^, il viendra

■ AG’ + BIl’ -+- CE’ DF’ = 4 AE’ + AC’ + BD’).

Mais ie parallélojîramme ABCD donne

AC’ -t- BD’ = 2 A B’ + 2 A D ■.

En siibsliiuanl, on aura donc • '

AG’+ BH’ 4- CE’-f-DF’ = 4 AE’ 4- 4 AB’ + 4 AD’.

Si le parallélipipèdc est reclaiiftlc, ses diagonales sonl égales (200) et le premier membre se réduit à 4 AG’. En divisant par 4, on obtient donc '