SID
abcde S/»’
On en conclut que, dans toute pyramide, les sections parallèles à la base sont proportionnelles aux carrés de leurs distances au sommet.
(ÜIOntTIllE.
Fi{{. 312.
ÎAiiMine (leu.r jiyranndt*sont ilt‘S lumltuii's lessec-
lions menées tlnns cos ityroniitles pitittlIèlenu'iU aux baseselà in
mémeilislttnce (les sommets, son! proporlionnell(‘s aux bases \
Soient les deux pyrumidesSA BCI), S' A' B' (7. Je suppose les deux liauleurs SU. S' H', égales; je prends S/i = S' /(' et, par les points h et //', je mène les sertions alxulei a' b' c' |)arallèles:iux bases ABCI>ei A' B' 17.
Nous aurons, d’après la dernière; remarque ( 219 ),
^BCO V B' C' SMI”
abcfi SA’’ a' b' (■' S'A”
Il en resiilie, puistpi'on a SU = S'U' et SA = S'A',
\BC1) A' B' (7 nbed a’ b' c'
Si tes bases des deux p\ ramides sont éipiiv(deiites, hs sections le seront aussi.
221. Peax pyramides sont égides, lorsijii'elles ont an an^le dièdre éf^al compris entre une base et une face é féales cliaenne
à chacune et semblablement disposées {Jii'. 2 1 J ).
Soient l'angle dièdre \B égal à l’angle dièdre \' B', la baSc \BCI) égale à la base A'BT.'I)', la face ASB égale à la face A' S' B'.
Je porte la ]>yi"amidc S' A' B' (71)' sur la pyramide SVB(il), de manière (|ue les (leux bases égales ( oïncidcnl. I.’angle dièdre A' B' étant égal à l’angle dièdre AB, et les parties égab^s étant disposées de la tnème tnatiièn* dans les deux pyramides, la face A'S'B' tombera dans le plan de la face ASli. 1,’angle S' A' B' étant égal à l’angle SAB, l’arète V'S' prendra la dirertiuti de l'arête AS, et le point S' tombera au points puistju'on a A'S'= \S. Les deux pyramides ayant mêmes sommets, coïncideront (>t seront égales.
Si l'on désigne par n le nombre des ctïtésde rime di's bases d(!s deux pjramides, l’égalité des bases de ces pyramides exigera au — 3 conditions ( VO). L égalité des angles dièdres AB et A' B' compU* |iour um; condition. Knfin, l’égalité des triangles SAB, S' A' B', n'exige plus (|uc deux conditions, puisqu’on
Fig. îi3.
néoM^TiuK. i55
il \B=rA'H’ d'apru» lY-}^alilé dos bases. Ainsi l’oj'ulilé des deux pyramides exige en loul in coiidilions.
. II. — Surface et volume de la pyramide.
222. La surface latérale d'une pyramide régulière a pour mesure la moitié. du produit du périmètre de la base par l'upo- Kic- 214. . thème .de, la pyramide { Jig. 11^).
s On appelle apothème d’une pyramide régu-
êlière la pcrpemîiculairc abaissée du sommet de la pyramide sur un côté quelconque de sa base, l.a pyramide SABCUE étant supposée réguc lière, toutes ses arêtes latérales sont égales comme obliques s’écartant également du pied ^ “ de la perpendiculaire SO, hauteur de la pyra-
mide; car le point O étant le centre du polygone régulier \B(d)E, toutes les distances O V, Oit. etc., sont les rayons d’un même cercle. Les faces latérales de la pyramide sont donc des triangles isocèles égaux, et les hauteurs de ces triangles isocèles, hauteurs qui sont les apothèmes de la pyramide, sont
égales, On pourra poser ASE = AE.SH, SH étant l'aiiothème
qui correspond au coté AE. Si la base a n côtés, la surface latérale de la |)vramide se composera <le n triangles égaux au triangle
\SE, c’est-à-dire iiu’elle aura pour expression • «AE.Sjl.
MaisH..\E représente le périmètre I* de la base de la pyramide :
sa surface convexe sera, par suite, représentée par ^ P.SIL
22.3. Pour arriver à l’expression du volume d’une pyramide quelconi]ue, nous nous appuierons sur le théorème suivant : Lieux pyramides triangulaires qui ont des bases équivalentes et des hauteurs égales, sont équivalentes [fig. 2i5 ).,
Je |)lace les bases équivalentes ABC et A' B' C' des deux pyramides SABC, S'A'B'C', sur un même plan : leur hauteur
Fii>. ?i5.
commune est alors égale à la droite AT.
Supposons que les pyramid(*s proposées ne soient pas équivalentes et que SABL soit la plus grande.
On pourra toujours représenter leur différence quel le qu’elle soit, par le volume d'un prisme ayant pour base.
ABC et pour hauteur A.t.
l56 * GÉOMÉTRIE.
Le \ulunie de ce iirisme aura puur expression ABCx A-r' ei l’on pourra déiemiinerle fadeur \.x de manière à satisfaire à la condition indiquée.
Di visons AT en parties éj;ales, nioindres que A.r, et soit Av l’une de ces parties. Par tous les points de division obtenus, menons des |ilans parallèles au plan connimn des deux bases. Nous déiei ininerons dans les pyramiiles des sections deux à deux équivalentes, puis(]ue les bases de ces iiyramides sont , ('•(|uivalenles (220 ).
Sur la base ABL et sur cbacune des sections de la pyramide SABt', construisons des prismes ea:/tV(e//rs à la pyramide. Pour construire le premier de ces prismes, je mènerai par les points B et (;, jusqu’au plan de la section UEF, des parallèles BN et (]0 à l’arête SA. Toutes les laces laléndes du pidyèdre ABCDNO seront des parallélogrammes ( BN parallèle à SA est dans le plan SAB et coupe le plan DEF en un point N appartenant à l’intersection DE des plans SAB et DEF, etc.), et les deux bases ABt;, DNO, seront îles triangles égaux et jéarallèles. Le polyèdre ABt^DNO sera donc bien un prisme extérieur à la pyramide SABC : on construira les autres |irismcs de la même manière.
Sous les sections de la py ramide S' A' B' E', nous construirons des prismes intérieurs k cette pyramide; le nombre des prismes extérieurs à la iiyrainide SABC surpassera donc d’une niMté le nombre des prismes intérieurs à la pyramide S' A' B' C'. Pour construire le premier prisme intérieur, nous mènerons par les points E' et F', jusqu’à la rencontre de la Iwse ABC, des parallèles à l’arête S' A'. .Nous construirons les autres prismes de la même manière. y
Si l’on compare maintenant les deux séries de prismes, on voit que le secoml prisme extérieur est équivalent au premier jirisme intérieur, puisque leurs bases DEF, D'E'F', sont eqnivalenlos, et qu’ils ont la même hauteur. Do même, le troisième prisme extérieur est équivalent au second prisme intérieur, et ainsi de suite jusqu’au dernier prisme exléi ieur.
La différence des deux séries de prismes est donc représentée par le premier prisme extéi ieur, dont le volume a pour expression ABCXAr. Or la somme des prismes extérieurs surpasse la pyramide SABC, tandis que la pyramide S'A'B'C' surpasse la somme des prismes intérieurs. Il faudrait donc que la différence des deux pyramides SABC et S'A'B'C' fût plus petite que la différence des deux sommes de prismes, puisque CCS sommes comprennent entre elles les deux pyramides. On devrait donc avoii'
ABC X A.r > A BC X Aa- ou A >•> Aæ ;
Fig. 2iC.
GÉOMÉTRIE. l5^
ce qui osl absurde d’après les hvpollièscs failes. Il esi donc absurde- aussi de supposer que les deux pjramidcs S' A' H' G', (pii oui des bailleurs égales et des bases équivalenles, ne sont pas équivaleiiles.
22i. Toute pyramide trianfpilaire est ^pale au tiers du prisme de. même base et de même hauteur [Jij^. 216).
Soit la pyramide triangulaire EABG. Par les sommets A et }e mène les droites AD et GF égales et parallèles à l’arête BE,
, et je trace le triangle DEF. Je construis ainsi un prisme (l‘.l9) ABI'.DEF', qui a même base ABC, que la pyramide proposée et même hauteur, puisque le sommet E de la pyramide appartient à la base supérieure du prisme.
Si j’enlève du prisme la pyramide donnée E ABG, il reste une pyramide quadraogulaire EAGFD. Si je fais passer un plan (lar les arêtes EG, ED, de celle pyramide, je la décompose en deux pyramides triangulaires EVDG, EtiDF; ces deux pyramides ont le même sommet E, et leurs bases .ADG, GDF, moitiés du parallélogramme A<;FD, sont situées dans un même plan : ces deux pyramides sont donc équivalentes (223). Mais la pyramide EGDF peut être considérée comme ayant son sommet en G et pour la base DEF (218) ; on voit alors que celte pyramide a même base et même hauteur que le prisme, c’est-àdire qu’elle est équivalente à la pyramide EABG. Le prisme ABGDEF se trouve donc composé de trois pyramides équivalentes entre elles et à la pyramide FLABC. : celle pyramide est donc le tiers du prisme.
Mais un prisme a pour mesure de son volume le produit de sa hase par sa hauleur(213) pyramide triangulaire auror
donc pour mesure de son volume le tiers du produit de sa lutte ■' par sa hauteur.
L ne pyramide queleomjue a pour mesure de son vo- »'7- lame le tiers du produit de sa base par sa han- /CMc (/g^. 217).
Soit la pyramide polygonale SABGDE. Je la partage en pyramides triangulaires, en faisant passer des plans par l’arête S.A et les arêtes opposées SG, SD. Ges pyramides triangulaires auront pour hauteur commune la hauteur SO de la pyramide proposée, et leurs bases ABG, .AGD, composeront la base polygonale .ABGDE. Nous au-
CÉOMé.TRIK.
i ons (22^ii)
\BCi<SO py r. .*' \B< - = 2 ’ — »
u'.nxso
])\r. î>\Llt = ^ 1
-4.VC AÜEXSO pyr. >\l)E= — 2 .•
Par suite.
pyr. SABt'DE
( ABC-i- \CI)-l- AI>E) SO
