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GÉOMÉTRIE

leur, qui a pour base la section faite dans le tronc de cône à

égale distance de ses deux bases. C’est la formule ainsi sim-

— - — j . A, qu’on epiploie constamment pour

le cubage des arbres non cquarris.

La formule nonsimplifiéeaété employée pourle/««g'cag'c des tonneaux. On considère alors le tonneau 228) comme formé de deux troncs de cône identiques opposés par leur grande base. Si r repré'sente le rayon du fond du tonneau, R le rayon de la grande base ou de la bonde, h la longueur du tonneau, on aura pour la somme des volumes des deux

troncs de cône :\ =~ ^R*-f-r’-(- Rr^ Cetté

formule donne un résultat trop faible, ])uisqu’on néglige tout le volume engendré par le segment AMR compris entre fa génératrice rectiligne AB et la génératrice curviligne AMR. A plus fortf raison, la. formule simplifiée

Fig. aaS.

. h doit-elle être rejetée.

En Angleterre, on emploie la formule suivante proposée par Onghtred, et qui consiste h remplacer dans l’expression des deux troncs de cône, R/' par R’; cette formule est donc

En France, on fait usage d'une forninlfe due à Dez, qui assjmüe le tonneau à un cylindre ayant pour hauteur la longueur du tonneau, et pour rayon de sa base l’excès du rayon de la

bonde sur les 7; de la différence qui’ existe entre le rayon de

la bonde et celui du fond : cette formule est donc

Elle donne un résultat moindre que celui fourni par la formule d’Oughtred.

236. Le volume d’un tronc de prisme tnangnlaire est équivalent à trois pyramides ayant pour hase commune la base inférieure du tronc, et pour sommets respectifs, les sommets de sa base supérieure [fig- aaq)-

Lorsqu’on coupe un prisme par un plan qui rencontre toutes les faces latérales, le corps compris entre la base inférieure du prisme et le plan sécant s’appelle prisme tronqué

1^0 CÉOMÉTRIE.

OU tronc de prisme. La section qui a délerniiné le tronc -de prisme, représenté sa base supérieure.

‘ Fig. 239. Soit le tronc de prisme triangulaire

ABCDEF. Je mène un plan par les trois sommets A, (', E, et je détache du tronc la pyramide triangulaire EAB<;, qui a.

pour base ABt; et pour sommet le • point E. •

Il reste la pyramide quadrangulaire E VCFl). Je la partage en deux pyramides triangulaires, en menant le plan DEC. La pyramideEAUC, quia’pour sommet le point E et pour base ADC, est équivalente à la pyramide BADC (|ui a la même base et la même hauteur, puisque son sommet B est situé sur la paral- ’lèle menée à DA ou au plan \DC par le sommet E. Mais la pyramide BADC peut être regardée comme ayant son sommet en D, et sa base est alors ABC.

La pyramide EDCF, qui a pour sommet le point E et pour base CFD, peut être regardée comme ayant son sommet en D et pour base ECF. Elle est équivalente à la pyramide ABCF, qui a pour sommet le point A et pour base BCF. En effet, les deux bases ECF, B(]F, sont des triangles équivale.nts, puisque leurs sommets E et B sont sur un même parallèle à leur base commune CF. Les hauteurs des deux jjyramides considérées sont égales, car les deux sommets D cl A sont situés sur une parallèle à CF et, par conséquent, au plan commun des deux bases. Les deux pyramkles EJ)CF, ABCF, sont donc bien équivalentes (223). Mais la pyramide ABt^F peut être regardée comme ayant son sommet en F, et sa base est alors AB(^.

Le prisme triangulaire tronqué est donc bien équivalent à la sonime de trois pyramides ayant pour base commune ABC et pour sommets respectifs les points E, D, F.

Si l'on désigne par B la base, du tronc de prisme, par//, h', h", les hauteurs des sommets E, D, F, au-dessus du plan de la base inférieure, le volume N du tronc du prisme seca égal à B/i BA’ BA"

On aura donc

A-hA'-i-A"'

Si le tronc de prisme est droit, ses hauteurs A, A', A", se confondent avec ses arêtes latérales a, a', a", et l’on a

Celte fomiule est applicable à un tronc de |irisine obliipir.

Digitixic-J bv Goo;;k'

GÉOMÉTRIE

pourvu qu’on remplace la base B par la section droite S du tronc de prisme. En effet, cette section droite divise le ponc de prisme oblique en deux troncs de prisme droits dont elle est la base commune. Soient e et e, les volumes de ces deux troncs; soient a, d , a", les arêtes du premier, a,, a',, «*, , les arêtes du second. Gn aiira

Ajoutons CPS deux' expressions et désignons parA —

A' = ff' -f-a',, A" = a''-t-a’, Içs arêtes latérales du tronc de prisme oblique dont le volume est V ; nous aurons''

Fig. 33o.

Ainsi, d’une manière générale, le volume d’un tronc de prisme triangulaire est égal au produit de sa section droite par la moyenne arithmétique de ses trois arêtes latérales.

’ .Les expressions des volumes calculés jusqu’iéi reviennent toqies ou produit d’une aire par une longueur, c'est-à-dire à un produit de trois facteurs puisque l’évaluation d’une aire en coDïprend deux. Et ce produit de trois facteurs correspond à la mesuré d’un parallélipipède rectangle, équivalent au volume proposé (209). I

237.- Tout parallélipipède tronqué a pour mesure le produit de sa section droite par la moyenne arithmétique de deux de ses arêtes latérales opposées ou non consécutives [fig. ?.3oJ..

Je suppo.se, pour plus de simplicité, que la base .VBIID spit la section droite du pandlélipipcde tronqué proposé. La section EFtîlI, base supérieure du tronc, sera un parallclogramnie (202). Soient K et 0 les centres des deux bases, la ligne OK sera évidemment parallèle aux arêtes latérales du tronc; en effet, dans le trapèze .\E(îr., par exemple, elle joint les milieux des côtés non parallèles.

Ceci posé, lè plan diagonal AEtlC partage le volume considéré en deux tronesde prisme Iriangulaires ABCEFG, ADCEHG^ Le volurfie du premier (236) sera égal à

BF

ABC

le volume du second à

ADC

' AE-+^mi -f CG'

VÉOMÉTHIE.

Si l'oM ajoule ces deux expressions el si l’on remarque que les deux Iriajigles ABC, ADC, sont égaux, ou aura, eu appelant V le volume cherché,

.. / ?.AK-f-aC(l -4- BK-i-nH'