V =AB(, ( - X
Mais le trapèze AEliC donne ?.(AE-4- (Xi) r=4^B.; de même, le trapèze BFIII) donne BF -t- DH = aOK. Par suite,
v=ab(:.2 0k=2ABC.ok = ab(:d.ok.
AE + CG *, BF-hDH ou a 1
l’énoncé est bien
OK étant égale à justifié.
238. Les amas de pierres établis de distance en distance' le long des roules, les fossés ou cuvettes destinées à rendre plus rapide récoulemeni des eaux de manière à mahitenir la chaussée en bon étal, les tombereaux, etc., ont la forme de prismes (jundrangulair’es tronqués aux deux extrémités. Deux des faces latérales sont des rectangles inégaux, les deux autres facessont des trapèzes isocèles égaux. Les deux troncatures ou les deux bases sont alors deux trapèzes isocèles égaux. Lorsqu'il s’agit d’un amas de pierres, le tronc repose sur le sol "par sa plus grande»face rectangulaire.
On obtiendrait le volume dont nous nous occupons en coupant un prisme quadrangulaire droit avant pour bases des trapèzes isocèles, par deux plans menés chacun par la grande base de ces lra|)èzes et également inclinés, l'un au-dc'ssous de la base supérieure, l'autre au-dessus de la base inférieure du prisme.
Soit à calculer le volume de l’amas ABCDA'B'fXD' {Jtg- 23i). Nous décomposerons ce volume en deux prismes triangulaires tronqués, en menant le plan diagonal CDA'B'. Si MNKLest la section droite du tronc de prisme quadrangulaire, MNL sera la section droite du tronc de prisme triangulaire ADA' B(^B', et NLK sera la section ib-oile du tronc de prisme triangulaire DA' D' CB' (7. Je désigne par n et 6 les dimensions du rectangle ABCD, paru' et l>' celles du rectangle A'B'(7D'. Je re,présente par /i la distance de ces deux- faces du tronc, c’està-dire la hauteur LH du triangle MNL ou du triangle NLK; en effet, la section droite MM.K est perpendiculaire aux plans des deux faces latérales considérées { 183). Je remanpie enfin que AIN est égale à ftel que KL est «‘gale à h'. ■
Fig . a3 : .
fiéOMÉTIUE. 173
(Jeci posé, le 'volume du Ironc de prisme triangulaire \DA'BCB',esl égala (23Ü)
T \~jr- )■
De même, le volume du tronc de prisme triangulaire DA' D' CB' C'" est égal à
1/ fl / 9 a' -h a\
'En désignant le volume cherché par V, on aura donc ' • - b/t , b' h ■ , .
\ (2rt+rt')-+--^(2a 4-rt).
Si b' devenait nulle, on aurait
bh ,
V = ^(2rt + « )•
Cette formule représente le volume d'un prisme triangulaire tronqué à 'ses deux extrémités, ayant pour faces latérales un rectangle et deux trapèzes isocèles égaux, et pour bases ou troncatures deux triangles isocèles égaux. Certains toits, les piles de boulets dans les parcs d’artillerie, etc., ont cette » forme. ,
Si les rectangles ABCl), A'B'C'D', étaient semblables, les arêtes AA', BB', CC', DD', prolongées, iraient aboutir au même point, et l’on pourrait regarder le volume ABCDA'B'C'D' comme un tronc de pyramide à bases parallèles. On aurait, dans ce cas (233)
\ = t[ab + a'b' ^Sjaba'b')- / ''
11 est facile de prouver l’identité 'de cette formule «l de la
fl <1^ * ^
précédente, en tenant compte de la condition ^ ‘
■■ En effet, la formule
, ■ bh , , . b' h , , ,
peut s’écrire
h ( , a' b ... nb'\
GÉOMÉTRIE
Mais la romlilion ? = ^ donne a'b.=^(tb'. 11 viendra donc b b
\z=/l(ab + a’b'-+-ab'). . ' ^ '
Il reste à prouver que ab' = sjabâ'b', ce qui est évident, puisqu’on peut remplacer sous le radical a' b par ab'. ,
