CHAPITRE IV

DES POLYÈDRES SYMÉTRtQrES.

239. Deux points A et A' \jig. 23?.) sont spnélriques par rapport à un point ou centre de sy métrie O, lorsque le point O est le milieu de la droite AA'.

Deux points A et A' (fig. ?33 ) sont symétriques par rapport à une droite ou axe de symétrie xy, lorsque la droite xy est perpendiculaire sur le milieu de la droite AA'.

Deux points A et A' {fg. 234) sont symétriques rapport

Eig. 93î.

Fig. î33.

Fig. 334.

à un plan I’, lors(|ue le plan P, appelé plan de symétrie, est perpendiculaire sur le milieu de la droite AA'.

Deux figures sont dites symétriques par rapport à un centre, à un are ou à un plan, lorsque tous leurs points sont deux .à deux symétriques par rapport à ce centre, à cet axe ou à ce plan. Les ponits symétriques des deux ligures sont des points homologues. Il est évident (jue deux droites ou deux plans symétriques par rapport à un centre sont parallèles.

On peut toujours faire cotncider deux figures symétriques par rapport à un axe. En effet, si l’on se reporte à la fg. 233, et si l'on fait tourner A'o autour dc.arv, de manière que X'a reste toujours perpendiculaire à l’axe, le point A' viendra coïncider avec le point A après avoir décrit un angle de i8o“. Si deux figures sont symétriques par rapport à un axe, il suffira donc, pour passer de la seconde à la première, de faire tourner la seconde de 180” autour de l'axe, mouvement qui n’altérera en

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OÉOMÉTRIK. Ij5

. rien la disposition relative des différentes parties de la figure. On peut ramener la symétrie par rapport d un centre à la symétrie par rapport à un plan.

, Soient, en effet {Jig. 235), deux points A et A' symétriques par rapporta un centre 0. Je mène par le point 0 un plan P et une perpendiculaire OB à ce plan. Je construis le point A" symétrique du point A' par rapport à l’axe OB, cl je dis que les points A et A" sont symétriques par rapport au plan P.

A' A" rencontre (»B au point C, A" A rencontre le plan P au point a. Le point C étant le milieu de A' A" et le point 0 étant le milieu de A' A, A" A sera parallèle à OB, c’est-à-<Ii‘re perpendiculaire au plan P (105). De plus, Oo étant perpendiculaire à OB est parallèle à A' A", et le point O étant le milieu de A' A, le point a, est le milieu de A" A. I.cs points A et A" sont donc bien symétrique? par rapport au plan P.

Ainsi, deux figures P et P' éUmt symétriques par rapport à un centre, on peut former d’une infinité de manières (puisque le plan mené par le point O est quelconque) une figure P" qui soit à la fois symétrique de P' par rapport à un axe el symétrique de P par rapport à un plan.. Les figures P' et P" étant alors égales d’après ce qui précède, au lieu de comparer entre elles les figures P et P', on pourra comparer entre elles les figures P et P".

On peut donc se borner à étudier les propriétés des figures symétriques par rapporta un plan. ,

•240. Lorsque trois points A, B, <î, sont en ligne droite, leurs symétriques A', B', 1'-', par rapport à un plan P sont aussi en ligne droite {Jig. a36 ).

tig. 336. Les perpcudîcplaires AA', BB', CC',

au plan P, étant parallèles, sont dans un même pjan, et les trois points a, b, c, «ont en ligne droite. Si l’on fait tourner le trapèze .K'C/ca autour de ac ^ (qui est un axe de symétrie pour les ■ points considérés), lorsque'J’aitgle décrit sera devenu égal à i8o®,. lès points •A',B', C', coïncideront avec les points A, B, C; et comme ces trois points sont suppose^ en ligne droite, les points .A', B', C', avant ou après le mouvement, sont aussi en ligne droite.

Deux points sufJisçLnt pour déterminer une droite, pour que . deux droites soient symétriques, il suffit que- deux points de l’une aient leurs symétriques sur l'autre.

OIÈOMÉTBIE.

Fig. 2i-].

La dénionstralioii précédente prouve en même temps que Ut distance de deux points est égale à la distance de leurs sr^ métriques.

241. Lorsque quatre points 4, B, G, D, sont dans un même plan, leurs symétriques S! , B', G', 1)', par rapport à un plan P

sont aussi dans un même plan (Jig. 237 ),

Je mène la droite DEF qui ren contre les droites BG et AG aux points E et F. Les trois points D, E, F, étant en ligne droite»^ leurs symétriques D', E', F', seront en ligne droite (240). Mais le point E étant sur B(>, le point E' sera sur B' G', et le point F étant sur AG, le point F' sera sur A' G'. droite D'E'F' ayant deux de ses points dans le plan A' B' (7 sera tout entière dans ce plan, c’est-à-dire que les quatre points A', B', (7, 1)', seront dans un meme plan.

Trois points non en ligne droite suffisant pour déterminer un plan, pour que deux plans soient symétriques, il suffit que trois points de Tun, non situés en ligne droite, aient leurs symétriques fur r autre.

Pour que deux polygones ou deux polyèdres soient symétriques, il suffit que tous leurs sommets soient deux à deux symétriques.

Deux triangles symétriques sont égaux comme ayant leuis trois côtés égaux, puisque la distance de deux points est égale à celle de leurs symétriques (240

11 -en résulte que l'angle formé par deux droites est égal à l'angle formé par leurs symétriques, puisqu’on peut toujours prendre des longueurs égales sur les côtés des deux angles, de manière à construire dttix triangles symétriques.

■ Un point situé dans le plan de symétrie est à lui-même son propre symétrique, de même pour une droite située dans le plan de symétrie. Donc, deux droites ou deux plans symétriques rençontreni le plan de symétrie au même point ou suivant la même droite. De plus, les deux droites ou les deux plans sont 'également inclinés sur le plan de symétrie. Ta\ effet, le plan des deux di'oites est perpendiculaire au plan de symétrie, et l’intersection des deux plans, projection commune de ces droites, étant symétrique à elle-même, forme des angles égaux avec les deux droites sytnétriques. De même, tout plan perpendiculaire à l’intersection nommune des deux plans symétriques avec le plan de symétrie, coupe ces deux plans suivant deux droites symétriques et le plan de svmétrie

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r.ÉOMÉTBIE.

suivanl la projection de ces droites. Les angles rectilignes des angles dièdres formés'de part et <raulr(; dn plan d(> SNinétrie sont donc i“gan\.

2V2. Lorsque deux jiolyèdres sont symélriques, leurs faces homologues soûl égales et également inclinées, leurs angles polyèdres homologues sont symétriques.

Les deux polyèdres ayant leurs somniels syinctii(iues, ont leurs faces homologues composées d’un même nomhre de triangles symétriques, c’est-à-dire égaux (2Vl) rieurs faces homologues sont donc égales.

Si l’on considère trois arêtes symétriques dans les deux polyèdres, elles formeront des angles trièdres dont les angles plans seront égaux deux à deux comme formés par des droites symétritiues (2il ). Ce.s angles trièdres auront donc leurs angles dièdres homologues égaux 3"); et il en résulte (|ue les faces homologues des deux polyèdres auront des inclinaisons égales dans les deux polyèdres. ,

Les angles polyèdres des deux polyèdres auront donc à la fuis Ions leurs angles dièdres égaux chacun à chacun et toutes leurs faces ou tous leurs angles plans égaux Fifi. aSS. chacun à chacun. Mais si, considérant

(fg. a38) les angles polyèdres B et B', on liiit co’incider la face ABE avec son égale A'B'E'* on reconnaîtra qu’il est impossible de faire coïncider les autres parties égales des deux angles {jplyèdres, parce ([ue leur disposition n’est pas la même: ces ' angles polyèdres sont donc symétriques.*’ ' Deux polyèdres symétriques ont donc toutes leurs parties égales, sans pouvoir coïncider.

Deux polyèdres P et P' sont égaux, lorsqu’ils ont [)Our symétrique, par rapport à deux plaus de symétrie différents, un même polyèdre P". Eu effet, les deux polyèdres P et P" ont toutes leurs parties égales et leurs angles polyèdres symétriques; il en est de même des polyèdres P' et P". Les deux polyèdres P et P' ont donc toutes leurs parties égales et leurs angles polyèdres égaux : ils sont donc égaux. On conclut de là qu’«n polyèdre n'a qu’un seul symétrique.

Si l’on décompose un polyèdre P en pyramides triangulaires ayant pour sommet commun un des sommets du polyèdre, à chacune de ces jtyrarnides correspondra, dans le polyèdre symétrique P", une pyramide triangulaire symétrique. On voit donc que deux polyèdres symétriques sont décomposaldes en un même nombre de tétraèdres symétriques.

IL la

1^8 CÉOMÉTniE.

Il faut (lisliiiguer la symétrie de position et la symétrie de forme ; la dernière existe loiijonrs, lorsque les deux polyèdres considérés sont symétriques; la première n'existe que lorsqu’ils sont placés, par rapport au plan de symétrie, comme nous l'avons supposé jusqu’ici.

Fie *39.

2i3. Deux polyèdres symétriques sont équivalents. Deux polyèdres symétriques pouvant toujours se décomposer en un même nombre de tétraèdres symétriques (242), il suflira d’établir que deux tétraèdres symétriques sont équivalents.

Soit le tétraèdre S\Br,(^g'. 23ç)).’Je construis son symétrique en prenant pour plan de symétrie la base AUC. L(^ point S' étant le symétrique du points, les deux tétraèdres seront équivalents comme ayant même base et des hauteurs égales S0 = S'0‘( 223).