DES POI.YF.DRES SEMBLABLES

^ 244. Deux polyèdres sont semblables, lorsque" leurs faces

semblables chacune à chacune forment des angles polyèdres égaux.

Les parties qui se correspondent «lans deux polyèdres semblables sont appelées homologues. I.es sommets de deux angles polyèdres égaux sont des points homologues, les arêtes ou les diagonales qui joignent des sommets homologues, sont des arêtes ou des diagonales homologues, les faces semblables sont des faces homologues.

Les arêtes homologues de deux polyèdres semblables sont évidemment proportionnelles. Car les faces semblables des deux polyèdres ont le même rapport de similitude (Ü2), puis- (lu’une même arête appartient toujours, sur chacun des polyèdres, «à deux faces adjacentes. Par suite, le rapport de deux arêtes homologues quelconques est constant.

245. En coupant une py ramide par un plan parallèle à sa base, on détermine une pyramide partielle semblable à la pyramide proposée.

OÉOMÉTIUE.

Soil [fig. a4o) parallèle à la base

la pyramide SAIK'DE dans laquelle un |ilan a déierminé une section KCilIlk. Je dis (pie la pyramide SRllilK e.sl semblable à la |iyrainide donnée. Les deux bases sont semblables (219), les faces latérales sont semblables à cause des parallèles AH et Ffl, I!C et (ill, etc.

L’angle polyèdre S est commun. Démontrons l’égalité de deux angb-s dièdres liomologues (piciconques A et F. La face HAE est égale à la làceliFK, par suite de la similitude des bases des deux |iyramides; les faces SAB, SFCi, SAE, SFK, sont égales deux à deux par suite de la similitude des faces latérales des deux pyramides. Les deux angles uièdres A et F ayant leurs faces égales chacune à chacune et semblablement (lisptisée.s, seront égaux(l!H, 3"). Parsuite, le.sdeux pyramides considérées auront leurs faces semblables cbycune à chacune, leurs angles polyèdres bomologue.s égaux : elles seront donc semblables.

2i6. Deux pyramides Iriangu/aires sont semblables, lors- ' quelles ont Un angle dièdre égal eompris entre deux faces

sembbdde.s chaeune à eliacnne et semblablement disposées

[jig. 24 n.

Soient les pyramides SABL, S'.A'B'E', dans lesquelles les faces SAC, AB(,', sont semblables aux faces S'A'I^, A'B'C', et le dièdre AC égal au dièdre A'C'.

Je |irends SD^S'V', et par le point D je mène la section DEF, parallèle à la base VBC.

r.a pyramide SDEF sera semblable à la pyramide SABC (2Vo). 1.13 face SDE, semblable à la face SAC, sera donc, aussi semblable à la face S'A'(7 ; mais le ciàté SD ayant été pris égal au cfitéS' V', cette similitude SC changera en égalité, tbi aura par suite DE=r A'C', et les deux faces DEF, A'B'I'.', toutes de.u\ semblables à la face ABti, seront égales (uitre elles. Le dièdre DE, égal au dièdre AC., sera égal au dièdre .A'C'. L((s deux pyramides SDEF’, S'A' B'C', ayant un angle dièdre égal compris entre deux faces égales chacune à chacune et semblablement disposées, .seront égales (221); mais la pyramidë SDEF est semblable à la pyramide S.VBC : il en sera donc de même de la pyramide S'A' B'C'.

Fii;. a4i.

ctOMtTïWF,.

Jm.

Il (>sl uiili* <lc* nMitanincr ((ur lorsque deux pvraniides sont semblal)les, ou pi-ul loujours les placer l'une dans l'aulre comme les p>raniides SDEF ei S\B<] : les plans des hases des deux p\rainides soiii alors parallèles. , ■

’2ï7. Deux polyèdres senihlables sont décomposables en un même nombre de tétraèdres semblables et semblablement disposés [Jtp.

. Suieiit les deux polvèdres seniblahles P cl P'. Je divise les faces bomologiies de ces deux |)olyèdres en triangles senij,j|, blablcs : je décompose ainsi

leurs surfaces en un même nombre de triangles semblables el semblablement disposés.

Je |)rends un point O dans l'intérieur du polyèdre P, et je le joins à tous ses soinnieLs : je partage ainsi le polyèdre en pyramides ayant pour somim'l .commun le poitii O, et pour bases les triangles (pii composent sa surface.

Je détermine dans le polyèdre P' le |)oinl O' homologue du point O. en menant par A' H' un plan qui forme avec la face A'B'C'D'E' un angle dièdre égal à celui formé par le plan OAB avec la face \B(d)E ; puis, dans ce |)lan, je construis le triangle Ü'A' B' S(Mublable au triangle OAB.

En joignant le point O' aux différents sOmmels du polyèdre P', je le décomposerai en autant de pj ramides triangulaires (pie le polyèdre P, et ces pyramides seront semblablement placées dans les deux jiolyèdres : il faut prouver ipi’elles sont semblables.

Considérons d'abord les tétraèdres O ABE, O'A'B'E', OEBD, O'E'B'I)', OBIK;, Ü'B'IVC', dont les bases appartiennent respectivement à deux faces homologues ABI'.IIE, .A' B'C' D'E', (les deux polyèdres. Les tétraèdres OABE, O' A'B'E', sont semblables, d'après la construction même qu'on a effectuée, parce qu’ils ont le dièdre AB égal au dièdre A' B', compris entre deux faces semblabh^s et semblablement disposées (’i'rGj. \ji triangle OEB sera, par suite, semblable au triangle 0'E'B',cl l'angle dièdre OEBl) supplément du dièdre OEB A, sera égal au dièdre O'E'B'I)' supplément du dièdre O'E'B'A', parce que l'égalité des premiers tétraèdres enlraltrê celle des diè(îres OEBA, O'E'B'A'. Les deux tétraèdres suivants OEBl), O'E' B' l)', seront donc encore semblables comme ayant un dièdre égal compris entre deux faces semblables el semblablement dispo-

CÉOMl'^Tlilli.

sées. On proiivoraîl de même la similiUidt' de> tétraèiires ' OBDO, O'B'D'O'. lil le iiièine iikkIi* rie deinimslialioii stihsisicra, lanl(}ue les bases des léli-aei!r(“s siieeessiCs Ceroiil pariie d’une même faeê dans les doux ixdvèdres.

Ooiisidéi oiis mainlcnanl les deux lélraé<li (!S OI)(!l', O'It'C' F', dunl les hases apitariieniieiii à deux iuhiv<*I1(3s faces lioiuulogues des deux pr^lvèdres, CI>Flî, D'F'Ci'. Les deux irianî:li-s ODL, O'D'L', soûl seniblahles eoiiime faees homologues de* létraédres semblables; les deux iriaiifjles DLF, II' ('.'F' soûl semblables, eomme lriaii{,'les bomologùes de pfd\f,'ones semblables. I^cs deux |iolyédres (Waul semblables oui leurs aiiffles polyèdres b()molof;iies iH, par siùle, leurs aiijjles dièdres boinolof;ues égaux. Le dièdr»' BliDF' est donc égal au dièdre B'C'IFF'. Les dièdres OllLB, O' D' F.' B', soûl d'ailleurs égaux eoimnO- dièdres homologues de lélraèdres semblables. Par cousé(|uenl, l'angle dièdre ODl^F, dillcrenee des angh*s dièdres BliDF el ODLB, sera égal à l’angle dièdre O'D'L' F', différeuee des angles dièdres B'L'D'F' el O' D' L' B'. I.es léiraèilres ODCF, O' D'L'F', seronl donc enco'n* semblables eomme ayani un angle dièdre égal compris entre deux laces smoblables el semblablement disposei-s. Dès lors on peul conclure que les deux polyèdres P el P' soûl <'umposés d’un même nombre de lélraèdres semblables ei semblableiuent jdaeés.

Si le point O co'ineidait avec le. sommet V du polyèdre P, le point O' eo'ineiderail avec le sommei du polyèdri* !•'; les arêtes latérales homologues des tl■lraèdl•es homologues îles deux polyèdres, dçvieudrali'ut alors les diagonales bomologui*s de ces polyèdres. Les arèli's latérales bomologùes de deux tiriraèdres semblables élanl propurlionm^lles aux eùlès de leurs bases, les diu^onales homolo^^nes de deux polyèdres semldahles sont proportionnelles à leurs drètes lionwloffiies.

;2i8. Béciproquemenl, tleii.v polyèiires eomposès d'un nièine nombre <!e tétraèdres semblables et semblablement disposés f'E- sont semblables [fi^. 2 |'l).

O .le dis d’abord ipie si deux

lélraèdres 0\BF, OEBD, ont dans le poly èdre P leurs bases ABFi, KBD, dqus un même plan, les tétraèdres homologues O'.VIÎ'L, (VF B'D', auront aussi dans le |)olvèdre P' leurs bases, \'B'E',‘ E'B'D' dans un mémo. plan. Lar les dièdres OtiBV.'OEBD, étant supplémentaires, les dièdres égaux O' E' B' \'< O'E'B'D', se-

Digilized by VjOOgle

fJÉOMÉrniE.

roiu missi supplémenUiires; ei comme ils sont dans la position d’adjacents, leurs faces extérieures E'B'D' seront dans

un même plan (181). 11 résulte' immédiatement de cette condition, que les faces correspondantes des deux polvèdrcs sont' composées d’un même nombre de triangles semldables et seni-', : blablement placés, c’est-à-dire qu’elles sont semblables (lüü)t Dé plus, l’angle dièdre BCDF sera égal à l’angle dièdre B'E'D'F'; car le j)remier est la somme des angles dièdres ODC.B, (UH^F, égaux aux angles dièdres O'D'C'B', O'D'E'F', qui composent le second, connue angles dièdres homologues de tétraèdres semblables. Les liices homologues des deux polyèdres seront donc également inclinées.

I>>s deux polyèdres considérés ayant leurs faces homologues semblables et également inclinées, auront leurs angles polyèdres homologues égaux comme ayant toutes leurs parties ■ égales, dièdres et angles plans ( 191 ) ; ces deux polyèdres seront donc semblables (2Và). y ' / ,

2V9. Si l'on joint un point O quclvonque aux sommets un po- ■ hèilre 1‘, et si ion prend sur les rayons vecteiirsO\,{)U, OC, etc., des lonfrnenrs Ou, Ol>, Oc, etc., telles qu'on ait ‘ ^

Ort Oh Oc Od

OÂ ^ ÔB OÏT “ 01) “ ■ ' ‘

le polfèdie p, qui aura pour sommets les points a, b, c, etc., sera semblable nu polyèdre 1* [Jig. ? j4)-

Je considère la face AB(d)E du polyèdre donné et le point a.

Si je menais par le iioint n un j)lan pandlèle au plan ABCDE, ce plan couperait en parties proportionnelles les arêtes latérales de la pyTamjde OABtJlE (219), et passerait par coiiséi|uenl par les sommets a, b, c, d, e. Ces sommolsforment donc, dans le polyèdre/j, une face nècr/c semblable à la face ABCDE. Les faces correspondantes des deux polyèdres 1* et P sont donc semblables.

Je reman|ue ensuite que les arêtes homologues des deux polyèdres éuint, d’après ce qu’on vient de dire, parallèles et dirigées dans le même sens, les angles polyèdres homologues des deux polyèdres auront leurs faces égales et leurs angles dièdres égaux chacun à chacun (181 ) ; la disposition des l>arties égales étant d’ailleurs la même dans les deux polyè- «Ires, ces atigles polyèdres seront donc égaux. ^ Les polyèdres I* et P seront, par suite, semblables.

Fijj.

GtOMÉTIUE. l83

Le poitil O sera un cenlre de simililiuh! dirocle.

Si le point O était un centre de similitude inverse, c’est-à-dire si les loti{;ueurs ü«, Ob, Oc, etc., avaient été portées sur les prolon{,'ements des rayons vecteurs OA, OB, OC, etc., on aurait obtenu un polyèdre p' dont les faces auraient été semblables aux faces correspondantes du polyèdre P, mais dont les angles polyèdres auraient été symétriques des angles polyèdres du polyèdre P.

^ 250. Les volumes de deux pyramuies semblablrs sont proportionnels aux cubes de leurs hauteurs ou de leiirs arêtes homologues [fig. ?45). *

On peut toujours placer les deux pyramides proposées comme l’indique la figure, les plans des deux bases sont alors parallèles (24G). • ■ '

. Le volume de la pvramide SABCD sera .

. , ABCDXSO , ■ , , , < .

égal a — , le volume delà py ramide

babed sera égal a ^ (223). On aura

donc '

SABCD ABCD X SO ABCD ^ Üabrd ~~~ abed 'X. abcd ^ So

Le plan abcd éianl parallèle au plan ABC.D, on a (219)

Par suite,