ABCD SO

abcd S o’

SABCD SO' S\' S abcd S t> ‘ S rt'

251. Les volumes de deux polyèdres semblables sont proportionnels aux cubes de leurs arêtes homologues, et, en général, aux cubes de deux lignes homologues quelconques des deux poly èdres.

Je décompose les deux polyèdres considérés P et en un même nombre de tétraèdres semblables (2W). Soient T, T', T", etc., les tétraèdres qui forment le polyèdre P ; soient t, t', I", etc., les tétraèdres homologues du jiolyèdre p. Désignons par A et a deux arêtes homologues quelconques des deux polyèdres, et rappelons-nous que les arêtes homologues de deux polyèdres semblables sont proportionnelles (244). On

GÉOMÉTRIE

pourra poser (250)

J ^ .jv V r ■ A;

Un lliéoreine c:onnu*(l’ariilniiéii(juP permet alors de déduire de lu suite de l■apports égaux

l’égalité

c’esï-ù-dire

IP

^ On prouverait, en suivant uné marche analogue, que les surfaces de deux polyl’dres semblables sont proportionnelles aux carrés de leurs arêtes homologues.

De l’égalité

un déduit

Par conséquent, lorsqu’on veut amplifier ôu réduire un pO — Ijèdre dans un rapport donné, Yéchelle à employer pour les arêtes homologues est égale à la racine cubique du rapport des volumes des deux polyèdres, c’est-à-dire à la racine cubique • du rapport donné.

Applications.

252. Calculer le volume d'un tétraèdre régulier en fonction de son arête.

Je désigne jiar c l’arète du tétraèdre régulier proposé. Sa base sera un triangle équilatéral dont le coté sera c (198) et la

surface, par eonséiiuent, égale à

Le tétraèdre étant régulier, sa hauteur passe jiar le centre <le sa base : cette hauteur forme donc, avec le rayon du cercle circonscrit à la base, un triangle rectangle ayant pour hypoténuse rune des arêtes latérales du tétraèdre. Mais le côté du triangle de base étant c, le rayon du cercle qui lui est circonscrit est -^(128). La hauteur du tétraèdre aura donc pour

GÉOMÉTKIE.

oxprcssiüi

■ssiüii — ^

ou

f\jy

Sou volume, égal à sa base

multipliée par le tiers de sa hauteur, sera doue représenté par ' ■ c’\/3 csfÿ.

Si I Ou désigne le volume d’un tétraèdre régulier par V, ou ayra réciproquement