AB < AL -H BL

Prenons de même sur la ligne ADLEB un point D situé entre A et un point E situé entre B et C; joignons le point D aux points A et L par des arcs de grand cercle ; joignons le point E aux points B et par des arcs de grand cercle. Les nouveaux triangles sphériques formés donneront

\L<AD-i-DL et BL<LE-|-EB.

Il en résultera

AL-r- BL < AD DL LE + EB,

r.ÈoMÉTRir..

el, a fortiori,

AB< AU-i- UC-hCE+EU.

, En continuant de la même manière, on formera une série de • lifîncs polygonales de plus en plus grandes et (jui auront pour limite la courbe ADCEB. Cette courbe surpasse donc l'arc de . grand cercle A B.

Si l’arc AB était égal à une demi-circonférence, c’est-àwliro si les points A et B étaient diamétralement opposés, il y aurait une infinité de plus courts chemins: ces plus courts chemins seraient toutes les demi-circonférences qu'on peut mener par les extrémités d’un même diamètre de la sphère J25G).

. 268. Soit un angle trièdre OABC ayant son sommet au centre de la sphère [fig- 268). Élevons respectivement à cha- Fi(|. 2f«j. cune de ses faces AOB, AOC, BÜC, par le

® sommet O, les perpendiculaires Oc, 06, Oa. Ces perpendiculaires formeront l’angle trièdre Oabc, supplémentaire de l’angle trièdre proposé ( 190). Les triangles sphériques ABC, abc, déterminés parles deux an- B gles trièdres OABC, Ortèc, sont aussi appe-

lés triangles sphériques supplémentaires. Puisque leurs cotés mesurent les faces des deux angles trièdres et que leurs angles sont les angles dièdres de Ces mêmes trièdres, ces triangles jouissent en effet de la propriété suivante : Les côtés de chacun d’eux sont les suppléments des angbis de l'autre. Les éléments d’un triangle sphérique étant donnés, les éléments du triangle sphérique supplémenUiirc sont donc immédiatement connus.

Les deux triangles AB(’., abc, jouissent encore d’une autre propriété remarquable : les sommets de chacun d'eux sont les pôles des côtés de l’autre. En effet, la droite On étant perpendiculaire au plan BOC, le point a est le pôle de l’arc BC. Il en est de même des sommets b et c relativement aux cêjtés AC et AB. Réciproquement, la distance polaire 6 A étant égale à la corde qui sous-tend le quart de la circonférence d’un grand cercle, puisque le point b est le pôle de l’arc AC, et la distance polaire cA étant égale à la précédente, puisque le pointe est le pôle de l’arc AB, le point A est le pôle de l’arc bc. Il en est de même des sommets B et C par rapport aux côtés ac et ab. On peut, d'après cette propriété, décrire l’un des triangles au moy en de l’autre ; et on leur a donné, pour la rappeler, le nom , de triangles polaires.

269. La remarque générale du n" 266 et le mode fie raisonnement iiidi(|ué aux n*’ 267 el 268, suffLsent pour qu’il soit

Digili !jy i. jOOgle !

r.ÉOMÉTRIE.

permis (l’(^nonrer sans (lémonsiration les autres théorèmes relatifs aux triangles sphéri(|iics, en renvoyant seulement aux propriétés analogues des atigles trièdres. *

Deux triangles sphériques sont égaux, lorsqu'ils ont un •angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun et •semblablement disposés {\^\, 1“).

Deux triangles sphériques sont égaux, lorsqu’ils ont un côté égal’ndjacent à deux angles égaux chacun à chacun et semblablement disposés 9°).

Deux triangles sphériques sont égaux, lorsqu’ils ont leurs trois côtés égaux chacun à chacun et semblablement disposés {191, S").

Deux triangles sphériques sont égaux, lorsqu’ils ont leurs trois angles égaux chacun à chacun et semblablement dispq-, iéf (191, 4“).

11 est bien entendu que kis triangles sphériques comparés sont tracés sur des sphères de rayons égaux.

On peut appeler triangles sphériques semblables deux triangles sphériques ayant leurs angles égaux et leurs côtés proportionnels. Lorsqu’un angle trièdre ÜABC a son sommet au centre de deux sphères concentriques, il détermine sur ces sphères deux triangles semblables ABC, A' B' G' [Jig- 269). En effet, CCS triangles sont équiangles; de plus, les arcs semblables AB, A' B', sont proportionnels aux rayons OA, OA', et il en est de même des arcs AG, A'G', BG, B' G'. On aura donc

AB AG BG A'ir “■ A'G' ~ B'G'’

Dans tout triangle sphérique isocèle, aux côtés égaux sont opposés des angles égaux (193).

Lorsqu’un triangle sphérique a deux angles égaux, à ces angles égaux sont opposés des côtés égaux, et le triangle est isocèle Il résulte de là que si un triangle sphérique est

équilaténd, il est en même temps équiangle , et réciproquement.

Dans tout triangle sphérique, à un plus grand angle est opposé un plus grand côté, à un plus grand côté est opposé un plus grand angle ( 194).

Lorsque deux triangles sphériques ont deux côtés égaux chacun à chacun comprenant un angle inégal, au plus grand angle est opposé un plus grand côté (195). La réciproque de. cette proposition est évidente.

Dans tout triangle sphérique, la somme des trois angles est comprise entre deux et six angles droits; chaque angle, aug-

KiR. TOg.

' OÉOMF.TnrE. I()9

nit'ulé (le deux droits, est plus ÿrttnd (pie la somme des deux autres angles ( 10(i ). ,

Lors(ju'iin triangle sphérique contient un angle riroit, il est rectangle; son hypoténuse esl le côté opposé à l’angle droit. Un triangle sphérique ((ni contient deux on trois angles droits, est ap[telé hi-rectanf'le on tri-rectangle (187). Trois grands cercles per|)endiculaires deux à deux divisent évidemment la surface s|)héri(|ueen huit triangles tri-rectangles égaux entre eux. Ainsi, > le triangle tri-rectangle est le huitième de la surface splu'rirpte.