III. — Mesure de la surface sphérique

270. On appelle ligne brisée régulière une ligne brisée jdanc et convexe, dont les côtés forment des angles égaux et sont égaux. - ‘ ‘

Une ligne brisée régulière jouit de toutes les propriétés d’un (tolvgonc régulier ; elle est inscri|)tible et circonsrriptible''an cercle, elle a un centre, un rayon, un a|)othème. Senlemeiil, l’angle au centre d’une ligne bris(>é régulière n’est pas, en gémirai, une partie aliqunte do quatre angles droits. On appelle diàmètre d’une ligne brisée régulière toute droite ((assaut (>ar son centre.

Pour inscrire une ligne brisée régulière dans un arc de cercle, il suflit de diviser cet are en parties égales et de joindre les points do division par des cordes.

Fil-. 370.

271. La surface engendrée par une ligne brisée régulière en tournant autour d'un diamètre qui ne la traverse pas, a pour mesure le produit de la circonférence inscrite dans la ligne brisée par la projection de cette ligne 'sur Vaxe

(/éf- ^70).

Soient O le centre et 01 rapolhènio de la ligne brisée régulière .ABOI) toninant autour du diamètre xy. La surface engendrée par cette ligne sera la somme des surfaces engendrées (>ar les côtés AB, BC, (J).

l.e côté AB engendrera la surface convexe d’un cône ayant .A£ pour bauteur et BK pour rayon de sa base. L’expression de cette surface est égale à la hauteur \E multipliée par la circonférence, ayanf pour rayon la (lerpendiculaire élevée sur le milieu du côté jusqu’à la rencontre de l’axe (234) : cette (terpendiculaire est ((récisément l’apothème 01 de la ligne brisée régulière. On pourra donc écrire

surf AB= .AE.circOL

aoo

Do même, le côté Bt'. engendrera la surface convexe d'un tronc de cône ayant EF pour hauteur, BE et (!F pour rayons de ses bases. L’expression de cette surface est égale à la hau-’ leur EF nuiltipliée par la circonférence qui a pour rayon la perpendiculaire élevée sur le riiilieu du côté BC jusqu’à la rencontre de l’axe (‘234), perpendiculaire qui est encore l’apothème 01. On pourra donc écrire

sui f B(] = EF. cire 01.

Eiilin le côté CD parallèle h l’axe engendrera la surface Convexe d’un cylindre ayant FG pour hauteur, CF et DG pour niyoïis de ses bases. L’expression de celle surface est égale à la hauteur FG multipliée par la circonférence de base du cylindre, qui est évidemment égale à la circonférence inscrite dan!< la ligne brisée. On écrira dône encore

surf C,D=FG. cire 01.

Si l’on ajoute les égalités iirçcédentes membre à membre, ..onaura.'en mettant cire 01 en facteur commun,

. surf AB(;D= ( AE -t-EF -t- FG). cire 01, c’est-à-dire.

surf .\B('D = AG. cire 01.

(Cherchons, comme exercices, les surfaces engendrées par un demi-polygone régulier d’un nombre pair de côtés et par un demi-polygone régulier d’un nombre impair de côtés.

Si l’on rlésigne par K le rayon du polygone et par rson apothème, on aura dans le premier cas

Fig. î7i.

Dans le second cas (//g. 271), le diamètre xy de la ligne brisée régulière passe par le sommet K et coupe le côté CD en son milieu, c’est-à-dire que AO est le rayon du polygone et 01 son apothème (128). La surface engendrée par les deux côtés .\B et BC aura pour expression (B -|- rj.anr. Le demi-côté (il engendrera un cercle de rayon Cl.

\ ' On aura donc jiour la surface cherchée

s = ( B -f- /■) . 2 7T /• -|- TT CP.

Mais le triangle rectangle OCl donne CP= B’ — /•’. En subsliiuanl dans l’égalité précédente et en simplinanl, il viendra'

2 TT B /■ -t- :r r' 7t B’,

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r.ÉOMÉrniE.

aoi

o>si-à-dire

Les deux expressions qu'on vient de calculer conduiraient iminédialenient à l’expression de la surface sphérique, si l'on supposait les polygones considérés remplacés par les .circonférences limites : on devrait , dans cette hvpotlièse, faire r=R. -

272. On entend par zone la portion de la surface sphérique comprise entre deux plans parallèles. Les cercles déterminés par ces deux plans sont les bases de la zone, et la distance de ces deux plans est la hauteur de la zone. Si run des plans devient tangent à la sphère ou si run des cercles considérés est nul, la zone n'a qu’une base : on lui donne alors souvent le nom de calotte- sphérique.

i ne zone a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d'un grand cercle [ Jig. 272).

Soit le demi-cercle K\BL. Pendant que sa circonférence tournant autour du diamètre xy engendrera la surface sphéri(|ue, un arc AB de celte circonférence engendrera une zone qui aura C.D pour hauteur, AC et BJ) pour rayons de ses bases.

Inscrivons dans l’arc AB une ligne brisée régulière telle que AFB. La surface engendrée par cette ligne brisée en tournant autour de xr sera évidemment moindre que la surface de la zone considérée qui l’cnvcloppc de toutes parts. A mesure tpi’on doublera le nombre de cotés de la ligne brisée inscrite, la surface qu’elle engendre deviendra plus gratide [parce que l’apoibèmc 01 augmentera (271)] tout en restant inférieure à celle de la zone. Par suite, la différence de ces deux surfaces diminuera de plus en plus, et la zone sera la limite des sur- ' faces engendrées par les lignes brisées régulières, puisque l’arc AB est I.1 limite de ces lignes brisées. Or, quel que soit le nombre de ses cotés, la ligne brisée régulière engendre une surface ayant pour expression (;i). cire 01 (271). (Il) ne varie pas, et à la limite, 01 devenant OK ( 123), cire 01 devient , cire OK. On aura donc ‘

zone AB =r CD . 27; OK .

Désignons par H la hauteur de la zone et par B le rayon (b* la sphère ; l’expression générale de Faire d’une zone

" Fig. 371.

Z E c bu L y

aol

sera ' . ,

zune=airR.H.

Dans une niante sphère, les zones de même hauteur sont équivalentes, deux zones quelconques sont proportionnelles à leurs hauteurs.

Lorsqu’une zone n’a qu’une base, sa surface est celle du cercle qui a pour rayon la corde de l’arc générateur de la ' zone [fl g. 273).

En effet, on a '

\B’= \I).\C=2lUl.

P.ir suite, on peut poser

zone AB = 2 7tRli = jr . AB'.

273. La surface sphérique a pour expression le produit de son dia'mètre par la circonférence d’un grand cercle, c’est-ù- Plg ,-3 dire qu' elle est égale ù quatre grands

’ cercles [fg. 5-73).

Soit la sphère engendrée par le

// ! \ demi-cercle .\Bl). La demi-çirconfé-

' I \ rence ABl) étant la somme des arcs

~ K ô ^ Il ÿ \B et BD, la surface sphérif|ue sera la son)me des zones engendrées par

ces arcs. On aura (272)

zone AB = AC-z-ttOA, zone RD = CD. an OA.

En additionnant ces égalités membre à membre, il vient surf. sph.OA = (AC-i-(;D).27tOA,

c’est-à-dire

surf. sph. OA = AD.2 7rOA.

Désignons par R le ravon de la sphère. L’expression générale de l’aire de la surface sphérique deviendra, en la représentant par S,

S = 2 B . 2 JT B = 4 B ’.

.Si l’on appelle D le diamètre de la surface sphéri(|ue, on aura aussi

S = D.irD = TT D’.

On voit que les surfaces de deux sphères quelconques sont

r.ÈoMÉTBiF.. * ao3

proportionnelles aux eah-és de leurs ntyons ou de. leurs dinniètres.

274. La partie de la surface sphérique comprise entre deux demi-circonférences de grand cercle terminées au même diamètre, s’appelle/tt,sen/<. L’angle des deux demi-circonférences est Vangle du fuseau. Deux fuseaux situés sur des sphères égales sont évidemment égaux lorsque leurs angles sont égaux.

Le rapport d'un fuseau à lu surface, sphérique est égal au rapport de son angle à quatre angles droits (Jig. 274 ).

Soit le fuseau APP'B compris entre les deux demi-cirron-

Fig.

férences PAP', PBP'. Du point P comme pôle, je décris la circonférence de grand cercle ABC : l'arc AB mesure l'angle du fuseau. Je suppose qu’il y ail une commune mesure entre cet arc et la circonférence entière dont il fait partie, qu’on ait par

exemple . = A- Je divise alors la

‘ nrcABt. r5

eirconféienre AB(] en i5 parties égales, et AB contiendra 2 de

ces partits. Par le diamètre PP' et chacun despoints de division

obtenus, je fais passer des plans qui décomposeront la surface

sphérique en i5 fuseaux tous égaux entre eux comme ajant

même angle, et le fuseau APP'B contiendra 2 de ces fuseaux.

Son rapport à lu surface sphérique entière sera donc aussi

égal à -g- Ainsi, le rapport du fuseau considéré a la surface

sphérique- est égal au rapport de l’arc qui mesure son angle à la circonférence dont il fait partie, c’est-à-dire au rapport de cet angle à quatre angles droits.

. Si l’arc AB et la circonférence ABC n’avaient pas de commune mesure, on emploierait Ic.modc de démonstration déjà souvent indiqué (63).

Soit R le rayon de la sphère et P le rapport de l’angle du fuseau à l'angle droit ; le rapport de cet angle à quatre angles

droits sera On aura donc, d’apres ce qu’on vient de voir, en dé*signant le fuseau APP'B par fus P

fus P P „ .

fusP = 7rlD.P.

L’aire d’un fuseau est donc égale att produit tf un grand ceixle par le rapport de fangle du fuseau à un angle droit.

GÉOMÉTRIE

Pour passer de l’aire du lusea* à l'aire du triau{,de s|)hénous nous appuierons sur la proposition suivante :

Veux triangles sphériques symétriques (266) sont équivalents [jpg. 2^5 ).

Soient les deux triangles sphériques symétriques ABC, A' B' C'. Soit P le pôle du cercle circonscrit au triangle ABC. Prolongeons PO jusqu’à la surface sphérique, et soit P' la seconde extrémité du diamètre obtenu. Joignons le point P aux trois sommets du triangle ABC, le point P' aux trois sommets du triangle A'B'Cy, par des arcs de grand cercle. Les arcs PA, PB, PC, étant égaux (238), les trois angles trièdres O APB, OA PC, OBPt^, seront isocèles. Il en sera donc de même des angles trièdres symétriques OA' P'B', OA'P'C', OB'P'C', qui pourront dès lors coïncider deux à deux avec les précédents (193). Par suite, les triangles APB, A' P' B', APC, A'P'C'^ BPC, B'P'C', étant égaux deux à deux, le triangle AB(i, qui est la réunion des trois triangles APB, APt;, BP(^, sera équivalent au triangle A'B'C' qui est la réunion des trois triangles A'P'B', A'P'C', B'P'IV.

Bemarquons que les triangles A' P' B'^ A' P' C', B'P'C', sont alors isocèles, et que le point P' est aussi le pôle du petit cercle circonscrit au triangle A'B'ty.

I)(“ même que deux angles trièdres synnMriques peuvent coïncider lorsqu’ils sont isocèlejs, deux triangles sphériques symétriques isocèles sont superposables.

Nous avons supposé que le p<Me P tombait à l’intérieur du triangle ABC; s’il était situé à l’extérieur ou sur le plus grand côté du triangle, la démonstration serait encore la même : seulement, lorsque le pôle est à l’extéi ieur, le triangle représente une différence au lieu de représenter une somme.

276. Le rapport de l’aire d'un triangle sphérique à la surface sphérique est égal nu rapport de son excès sphérique à huit

Kig. •276.

angles droits [Jlg. 276).

On appelle excès sphérique d’un triangle sphérique le rapport de la somme des angles du triangle, diminuée de deux angles droits, à un angle droit.

Soit le triangle sphérique ABC. Ce triangle se trouve sur l’hémisphère limité par la circonférence à laquelle appartient le côté AB. J’achève également l(*s circonférences auxquelles appartiennent les deux autres «■ôtés \C et B<^ Le triangle ABC, augmenté du triangle B(L\',

DigitL :bvv.o<igk'

CÉOMÉTniE.

forme (•videnimeni le fuscî^u limité par les deux dcmi-cirronférciiocs ACA', ABA' c’esl-à-dirc le fuseau dont l’angle est l’angle A du triangle proposé. De même, le triangle ABC, augmenté du triangle ACB', forme le fuseau dont l’angle est l’angle B du triangle donné. Cherchons enfin à quoi revient la somme des deu>£ triangles ABC, CA' B'. On peut remplacer le triangle CA'B' parle triangle symétrique équivalent (275) C'AB. On voit alors (]ue le triangle ABC, augmenté du triangle CA'B' ou C' AB, équivaut au fuseau limite par les deux derni-circonférences CAC', CBC', c’est-à-djre au fuseau dont l’angle est égal à l’angle C du triangle ABC. On peut donc poser les égalités suivantes : ,

ABC -I- BCA' = fuseau A, '

ABC-+- ACB' = fuseau B,' - • .

ABC -h CA' B' — fuseau C.

Si l’on ajoute ces trois égalités membre à mentbre, on trouve

3 ABC + - surf. sph. = fus A -f- fus B -l- fus C, d’où ; ^

ABC = - (fus A -H fus B -f- fus (]) — ^ surf. sph.

Divisons les deux membres de éette dernière égalité par lasurface de la sphère ; il viendra

ABC I / fus A -+- fus B -I- fus C\ i

surf. sph. 7. \ surf. sph. / 4

Mais le rapport d’un fuseau à la surface de la sphère est égal au rapport de son angle à quatre angles droits (274). On aura

donc