ABC I

surf. sph. ~ 2

d’où

ABC

surf. sph.

Si l’on représente le triangle tri-rectangle’ par T, on pourra rem]tlacer surf. sph. parST (269), et on pourra écrire

ABC A -+-B-+- C — 2 T “ i'

De sorte qu’en prenant l’angle droit pour unité d’angle et le

GÉÜMËXUIK.

trian{{le Iri-reflaiif^le pour unilo d’aife, un triangle sphérique a pour mesure son excès sphérique. T étant le huitième de la

surface sphérique, on a T = (2”3) eii par suite,

ABC = (A-t-B + C — 2) — ‘ ■

Soit maintenant un polygone sphérique convexe quelconque ABCDE [fig. 277). On décomposera ce polygone en triangles, en joignant le sommet A aux autres sommets non adjacents par des arcs de grand cercle, et l’on obtiendra autant de triangles que le polygone a de côtés moins deux. En ajoutant les aires de ces triangles, on aura l'aire du polygone, et en remarquant que la somme des angles de tous ces triangles forme la somme des angles du |»olygone, on verra (jue le rapport de l'aire de ce polygone à la surface sphérique est égal au rapport de la somme de ses angles, diminuée d’autant de fois deux droits (|ue le polygone contient de côtés moins deux, à huit angles droits.

Désignons par S la somme des angles du polygone, par n le nombre de ses côtés, on aura

AB(d)E S — 2(/i — 2)

surf. sph. 8

Si l'on remplace surf. sph. par 8T, il vient ABCDE 8 — 2 (« — 2)

Le rajq)ort écrit dans le second membre s’appelle l'excès sphérique du ])olygone. Lors(|u’on prend l’angle droit pour unité d’angle et le triangle tri-rectangle pour unité d’aire, un polygone sphérique a donc pour mesure son excès sphérique. On |>eut écrire

ABCDE=(S-+- 4 — 2,n).