IV. — Mesure du volume de la sphère

277. Le t^ulunie engendré par la révolution (L un triangle autour d'une droite située dans son plan et passant par l’un de ses sommets sans traverser sa surface, est égal au produit de la surface engendrée par le côté du triangle opposé au sommet situé sur l'a.re, multipliée par le tiers de la hauteur correspondante.

Fi{*. ^77,

GÉOMÉTHIE. aoy

Nous supposerons d’abord que l’uii des côtés AB du triangle se confond avec l'axe 278). Du soniinet opposé C, j’abaisse FiR. 378. ' sur l’axe SC)' la perpendiculaire CD.

Suivant que la perpejidiculaire CD tombera à l’intérieur ou à l’extérieur du triangle ABC, le volume engendré par ce triangle sera la somme ou la différence des cônes droits engendrés parh's triangles rectangles .ACD, ’ .BCD. Un a (229)

^ cône ACD = ^ îT CD’. AD,

cône BCD = ^jrCD’.BD.

En désignant par vol AB(" le volume engendré par la rotation du triangle ABC autour de l’axe xy, on

aura dans les deux cas

vol ABC = 5 TT CD’. AB.

Le produit CD. AB exprime le double de la surface "du triangle ABC,. Si l’on abaisse AP perpendiculaire sur BC, le produit AP.BC exprimera aussi le double de cotte surface. On pourra donc, dans l’expression précédente, remplacer CD. AB par ,VP.B('. Il viendra alors

vol ABC = CD. AP.BC. '

Mais la surface convexe du cône engendré par le triangle rectangle B(d), c’est-à-dire la surface engendrée par le côté BC, a précisément pour expression r.CD.BC (228). On pourra donc écrire

vol ABC = surf RC-^-

Supposons maintenant qu’aucun des côtés du triangle ne coïncide avec l’axe (y?g-. 279), Je prolonge le côté BC jus(|u'à sa C'C. rencontre avec, l’axe au point £-•

Le triangle ABC étant la différence des triangles ACE, ABE, le volume qu’il engendrera sera la différence dos volumes engendrés par ces triangles.

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Mais

GÉOMÉTRIE

' vol ACE Z= surf EC~,

vol ABE = surf EB -^, ' '

surf E(/ — surf EB représente évidcinnienl la surface con- • ve\e (lu tronc de cône enfîcndré par le trapèze CDFB, c’està-dire la surface engendrée par le côté B(". On aura donc encore

vol ABC = surf BC-^- ...

La démonstration précédente admet cpie le côté BC prolongé vient couper l’axe. 11 faut donc, en dernier lieu, examiner le cas où ce côté est parallèle à l'axe (y/^. 280). -

Desextrémitésdu côté BÇ, j'abaisse sur ' l'axe xy les perpendiculaires CI) et BF.

Le volume engendré par le triangle ,\BC sera la somme ou la différence des volumes engendrés par les triangles APC, APB, suivant que la per|)endiculaire Al* abaissée du sommet A sur le côté BC tombera en dedans ou en dehors du triangle proposé. La même démonstration s'appliquera aux deux cas. Le triangle rectangle AÜC et le rectangit; Al)(iP ayant même base et même hauteur, le cône engendré par la rotation du triangle sera le tiers du cylindre engendré par le rectangle (22!)). Il en résulte évidemment que le volume engendré par le triangle -\P(i sera les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle ADtiP. On. prouverait de même (jue le v olume engendré par le triangle APB sera les deux tiers du («y lindre engendré par le rectangle AFBP.

Le volume engendré par le triangle .ABC sera donc finalement les deux tiers du cylindre engendré par le rectangle DCBF', somme ou différencé des rectangles ADCP, AFBP. On aura donc

vol ABC = 1 TT AP’ . BC.

-Mais la surface latérale du cylindre engendré jiar le rectangle DCBF, c'est-à-dire la surface engendrée par le côté BC, a précisément pour expression srr.AP.BC. On pourra donc écrire comme précédemment

volABC = surfBC.^.

La formule trouvée n’est donc, soumise à aucune restriction.

Fig. aSo.

r.ÉOMÉTRIK. 309

Considérons ronime cas parliciilier celui où le triangle proposé étant isocèle, son somniet est sur l’ave [Jis- ’yO- l>ans ce cas, la siirlace engendrée par la base UC est celle du tronc de cône engendré par le trapèze DCBF, les points 1) et F étant les projections des points C cl B sur l’axe xy. Celte surface sera donc égale à la hauteur DF du tronc de cône multipliée par la circonférence qui a pour rayon la perpendiculaire élevée sur le milieu du côté BC jusqu’à la rencontre de l’axe (23V), et celte perpendiculaire est précisément la hauteur AP du triangle isocèle. On aura donc

Fig. a8i .

surf BC = DF.9 7r\P

vol ABC = 1 TT AP’. DF.

Le volume engendrA par un’ triangle isocèle toanianl autour d’un axé situé dans son plan et passant pat son sommet sans traverser sa suiface, a donc pour expression les deux tiers du cercle qui a pour rayon la hauteur du triangle isocèle, multipliés par la projection de la hase de ce triangle sur l'axe.

278. La surface comprise entre une ligne hriséti régulière et les rayons qui correspondent à ses evlrémilés, s’appelle secteur polygonal régulier.

Le volume engendré par un secteur polygonal régulier tournant autour d’un de ses diamètres, extérieur à sa surface, est

égal au produit de la surface que décrit la ligne brisée qui sert de hase au secteur, par le tiers de son apothème (fig. ?8a).

Soit le secteur polygonal régulier OABCDO. Je le décomposerai en triangles en joignant son centre O aux différents sommets \, B. C, I), de la ligne brisée régulière ABCD. On aura alors (277), 01 étant l’apolhème de la ligne brisée :

vol A0B = surf \B.^, vol B0C = surf BC.^^, vol COI) = surf CD.

Fig. aSî.

Si l’on ajoute ces égalités membre à membre, on trouvera vol OABCDO =(surf AB -f- surf BC-f-surfCD)

-Il O

GÉOMÉTniE.

c’iîst-à-ilirc

vol OABCDO ^ surf ABCl) . ^ •

Si AK cslla projeciion de la ligne brisée régulière sur l’axe, un a (271)

surf AB(;i)=:AE.2rrOI,

d’où

vol OABCDO = 1 TT 01’. AE. ’

Nous aurions pu arriver immédialcnienl à celle formule, en remarquanl que les Iriangles AOB, BOC, COI), sonl isocèles (277).

Si l’on considère le volume engendré par un demi-polygone régulier lournanl aulour du diamèlre qui le divise en deux pariies égales, ei si l’on appelle R el /• son rayon el son apolliènie, il faudra remplacer AE par 2 R ou par R-f-r, suivanl que le nombre des côlés du polygone sera pair ou impair. En désignant le volume cherclié par V cl en remplaçant 01 par r, on aura donc, dans le premier cas.

cl, dans le second,

V = |,rr>(B-|-r).

Les deux expressions qu’on vient de calculer conduiraient iminédialemcnl à l’expression du volume de la sphère, si l’on supposait les polygones remplacés par leurs circonférences limites ; il faudrait alors faire r= R.

279. Le demi-cercle MABN engendrant la sphère en lournanl aulour de son diamèlre .MN {Jig. 2-83), le secteur circulaire AOB engendrera une partie du volume de la sphère, appelée 5cc/cMr sphérique. Les cercles engendrés par les perpendiculaires AC el BD, abaissées des points A et B sur l’axe .rr, seront les hases de la zone engendrée par l’arc AB : cette zone sera la base du secteur sphérique.

Le volume d’un secteur sphérique est égal au produit de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.

J’inscris dans l’arc AB une ligne brisée régulière, telle que

Fis-

GÉOMÉTRIE. 3 1 I

AFGB. Le volume engendré par le serieur polygonal régulier OAFGBO en tournant autour de l’axe xy, est moindre que le volume du secteur sphérique engendré par le secteur AOB, volume qui l’enveloppe de toutes parts. A mesure qu’on double le nombre de côtés de la ligne brisée régulière inscrite, le volume engendré par le secteur polygonal correspondant augmente, parce que l’apothème 01 augmente (278). Par suite, la différence des deux volumes diminue de plus en plus, et elle tend vers zéro puisque l’arc AB est la limite du contour de la ligne brisée régulière. Le secteur sphérique est donc la limite des volumes engendrés par les secteurs polygonaux réguliers obtenus, lorsqu’on double indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite. Mais le volume engendré par le secteur polygonal régulier aura constamment pour mesure le produit de la surface décrite par la ligne brisée régulière, par le tiers de son apothème ( 278 ). L’arc AB étant la limite de la ligne brisée régulière ,{12o). la zone engendrée par cet arc sera la limite de la surface engendrée par la ligne brisée, et le rayon OA sera la limite de l’apOthème 01. On aura donc (132)

sect. sph. AOB = zone AB •

Si l’on désigne par R le rayon de la sphère et par II la hauteur de la zone qui sert de base au secteur sphérique, c’est-à-dire ja projection C1), on aura (272)

zone AB = 2irRH,

et, par suite,

sect. sph. AOB = |;rB«H.

On peut donc dire qu’«n secteur sphérique a pour mesure tes deux tiers d’un grand cercle de la sphère, multipliés par la hauteur de la zone qui sert de base au secteur sphérique considéré.

280. Le volume d’une sphère est égal au produit de sa surface par le tiers du rayon [Jig. 284 )•

Soit la sphère engendrée par le demi-cercle ABC tournant autour de son diamètre AC. Le demi-cercle étant la somme des secteurs AOB, BOC, la sphère sera la somme des secteurs sphériques engendrés par ces secteurs circulaires. On a (279)

sect. sph. AOB= zone AB .

sect. sph. BOC = zone BC . •

Fip.

GÉOMÉTRIE

Il PU rosiille

splièrp OA = (/One AB h zone BC).

d’oii

sphère OA = surf. spli. OA .

Si l'on désigne par B le rayon de la sphère, par D son diainèlre, par V son volume, il viendra (273) ;

V=4,rR«.i* = |«R>,

V = wT)’ . .p. = ^ ttD*.

On voit iminédialemenl que les volumes de deux sphtres queleonques sont proportionnels aux eubes de leurs rin'ons ou de leurs diamPIres.

281. Un onglet sphérique esl la parlie du volume de. la sphère comprise enlre deu\ demi grands cercles lerminés an même diamètre. L’angle de ces deux demi grands cercles esl l’angle de l'onglel, ei le fuseau qui le lermine lui sert de base.

Il esl évident que, sur deux sphères égales, des onglets qui ont des angles égaux sont égaux.

On prouverait, en suivant la même marche qu’au n”27A,qne . le rapport d'un onglet à la sphère est égal au rapport dé son angle à quatre angles droits.

Il en résulte que le volume d'un onglet est égal au produit du fuseau qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.

En appelant A le rapport de l’angle de l’onglet ou du fuseau à un angle droit, on aura

fuseau A =îtR’.A cl, par suite.

onglet A =

irR’

282. Le volume déterminé en joignant le centre de la sphère aux sommets d’un polygone sphérique convexe esl une pyramide polygonale sphérique. Si le polygone est un triangle, on a une pyramide triangulaire sphérique. Trois grands cercles perpendiculaires deux à deux décomposenl la sphère en huit pyramides s|diériqvies tri-rectangles qui sont égales entre elles (2f)ü). Ainsi la pyramide tri-rectangle est le huitième du volume de ta sphère.

En suivant la marche développée au n°275, on prouvera que deux pyramides t riangulaires sphériques sj métriques son t équivalentes. Il suffira de remplacer chaque triangle sphérique par la pyramide sphérique correspondante.

Digilized Ly C.oogic

GÈOMÈXniE.

En se rCporlaiU au n” 276 ei eu remplaçant à la fois les triangles sphériques et les fuseaux par les pyramides sphériques et les onglets correspondants, on démontrera facilement que , le volume d’une pyramide sphérupie triangulaire est égal au produit du triangle, qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère.

Si ABC désigne la base de la pyramide considérée, on aura (276)