TT R . 2 R 2 )T R

tin aura donc

surf. lot. cyl. =6»rR*.

Le côté du cône circonscrit, qui est celui du triangle équilatéral circonscrit au cercle OA, est égal .à 2.11^3; le rayon de sa base, moitié du côté du triangle équilatéral circonscrit, est égal à R v^3 (128). On aura donc pour la surface totale du cône équilatéral circonscrit

7rRy'3.2.Rv^-|-3irR>.

On |)Ouria donc écrire

surf. toi. cône = 9»: R’.

. Le ihéorèinc est donc vérifié quant aux surfaces.

Le volume de la sphère esi égal a | irR’, celui du cylindre

r.ÉO.MÉTIilE.

aiy

il 2 7tl\’. I.a liaulciir du cùno, qui est celle du triangle équilatéral circonscrit au cercle 0\, est égale à 311 ( 1i8); par suite, son volume aura pour expression 3irU\ Les volumes des trois

corps seront donc proportionnels aux nombres 2 et 3,c’està.-dirc auxnombres 4, 6 et 9.

Si l’on remarque que 6 est la moy enne proportionnelle entre 4 et 9, on pourra énoncer les propositions suivantes : La surface totale du cylindre droit circonscrit à la sphère est la moyenne » proportionnelle de la surface sphérique et de la surface totale du cône équilatéral circonscrit ; le volume du cylindre droit ciivonscrit à la sphère est la moyenne proportionnelle des volumes de la sphère et du cône équilatéral circonscrit.

28(). Le théorème qu’on vient d’établir n’est qu’un cas particulier d’un théorème plus général.

Les volumes de deux polyèdres circonscrits à la même sphère ou à des sphères égales sont proportionnels à leurs surfaces.

En effet, si l’on décompose les polyèdres donnés en pyramides en prenant pour sommets des pyramides ap]iartenant à l’un et à l’autre polyèdre les centres des deux sphères, cha<]ue polyèdre aura pour mesure de son volume sa surface multipliée par le tiers du rayon de la sphère (226, 201 ). Si l’on désigne par V et v les volumes des deux polyèdres, par S .et s leurs surfaces, par K le rayon de la sphère, on aura donc

et |>ur suite

Applications.

Kig.

287. Inscrire dans une sphère un cône dont la surface ron- { exe soit équivalente à celle de la calotte sphérique terminée au même cercle [fig. 289).

Je désigne par x la hauteur AS du cône et pai' K le rayon de la sphère. La hauteur .\l> de la calotte s|»héri(iue aura pour i‘xpression 28 — .T. L’énoncé du problème exige i|u'on ail

r. AILSII= II ;2ll -a-).

d’oii