SH

ah X

d’où rt/i’ =

La différence des deux sections, que je désignerai par I), sera donc

ctOMÉTRIl;.

On aura, par conséqucnl,

Celle difrérence s’annule pour x = o el pour x = — ■ En

effel, dans le premier cas, le plan sécani esl langenl à la sphère au poiniS; dans le second, il se confond avec la base du cône. Enlre ces deux valeurs égales à zéro, 1) doil nécessairemenl passer par un maximum, c’esl-à-dire que le rayon de la seclion faiie dans la sphère croissanl d'abord plus rapidcmenl que le rayon de la seclion faile dans le cône, D commence par crollre à parlir de zéro, pour diminuer ensuile cl revenir à zéro.

' Pour irouver le maximum de 1), nous poserons -^ = y,

d’où X = — • En subsliluanl, il viendra

D = 37r.j(Il— y).

Le maximum de I) ne dé|)end que de celui du produil y (K — y), el la somme de ces deux fadeurs élaiil égale à la

constanie R, leur produil sera maximum lorsqu’on aura y = -

maximum.

élém,., 219), c’esl-à-dire x = I) esl donc maxi

lorsque le plan sécani passe par le milieu de la hauleur du

cône SAB, el celle valeur maximum de D esl égale aux ^ de l’aire d’un grand cercle. Lorsque le plan sécani passe par le cenlre de la sphère, l) esl égale aux ^ de l’aire d’un grand cercle..

Fig. agi .

289. Couper une sphère par un plan de manière que le segment sphérique déterminé par ce plan et le secteur sphérique avant pour base la calotte qui termine le ségment, soient dans un rapport donné

if S' 29')-

Soienl x la hauleur Al du segmcnl, c’esl-àdirc la dislancc du plan sécani au poinl A, el R le rayon de la sphère. Le volume du seoleur

aura pour expression ^ irR’x, le volume du segmenl sera ^ ttx’ (3 R — x). Si le rapporl du secleur au seg-

aao

GÉOMÉTRIE

iiieiU csl renréspiuc iiar on devra avoir q

-, d'où

En cliassanl les dênoininaleurs, un arrive à l’équalion du second degré

px' — 3/»Ra: -H 2<yR’ = O,

ei l'on en déduit

On peul meure colle valeur sous la forme

en la divisanl haut et bas par p.

Pour que la valeur de x soit réelle, il faul qu’on ail

() — 8 - > O, c’esl-à-dire - > -•

Si l’on suppose - = i, il vienl •

c’esl-à-dire

x' — 2 R et x" = R.

Hans le premier cas, le segmenl ei le sccleur se confondenl avec la sphère; dans le second, avec la moilié de la sphère.

Si l’on suppose — o’ost-à-dirè si le plan sécant divise le

secteur s|)h('ri<iue en deux parties équivalentes, on a

La première valeur surpasse le diamètre de la sphère cl doit

être rejelec. La seconde valeur x = csl seule ad-

missible et représente le plus petii segmenl ilu ra\on divisé en moyenne cl exlièine (l'iO).

GÉOMÉTRIE

QUESTIONS PROPOSÉES

Chapitre I. — i" La* voliimo d’un prisme triangulaire est égal à la moitié du produit d’une face latérale quelrom|ue par la distance do celle face à l’aréte opposéfî.

2." Si sur trois droites parallèles et non situées dans un même plan on prend des longueurs égales à une droite donnée, le volume du prisme triangulaire ainsi formé sera constant, quelles que soient les positions respectives des arêtes.

3" Un bassin a jwur fond horizontal un octogone régulier ayant lo mètres de côté, la hauteur de l’eau dans ce bassin est o",75. On demande à l’unité prés lo volume d’eau contenu dans le bassin. (SGi**'.)

4“ Trouver les dimensions d’un hectolitre, sachant que c’est un cylindre dont la hauteur est égale au diamètre de la base. (11= .^'**',o3o8.)

5“ Un tuyau cylindrique en bronze a i* do longueur, son diamètre intérieur est égal à o", 3f> et son épais.seur à o“, o8. I.a densité du bronze est 8,46. On demande lo poids du tuyau vide, le poids du tuyau plein d'eau à 4". ( 877'‘',o;i; 97a''»,497. )

Chapitre U. — i" Diviser la surface latérale d’un cône droit à base circulaire en deux parties équivalentes par un plan parallèle à sa bast\

a" Si l’on fait tourner succèssivement un triangle rectangle autour de cJiacun des côtés de l'angle droit, les volumes des deux cônes engendnSj sont en raison inverse de leurs axes.

3" Le côté n d’un triangle équilatéral étant donné, calculer la surface totale et le volume du cône engendré par la rotation de ce triangle autour de sa. hauteur. Chercher à i'“ près pour quelle voleur de r; la .surface totale est égale à i***!, pour quelle valeur de a le volume est égal à i"'. (o'',Gi; i»',G4.)

Chapitre lll. — i" Un réservoir a la forme d’un tronc de cône. La base inférieure a 5“ de rayon, lo niveau supérieur de l’eau contenue dans ce réservoir occupe une section do 8'* de rayon. La hauteur de l’eau est do 4*,25. On laisse tomber dans le rés<‘rvoir un bloc cubique ayant i’',4 de côté, cl l'on demande à quelle hauteur le niveau de l’eau montera.

2“ Un tombereau a les dimensions suivantes : les doux dimensions du fond sont et o'',8G; les deux dimensions de la section supérieure

sont 0,82 et 0,88. La profondeur du tomlioreau est égale à o",7.5. On suppose qu’il est complètement rempli de terre, et l’on demande le poids de cette terre en supposant sa densité représentée par 2,G8. (i i7-/‘s,G34.)

Chapitre V. — i” Chercher si le tétraèdre formé en menant par les sommets d'un tétraèdre donné des plans parallèles aux faces opposées est semblable à ce tétraèdre.

2" Calculer à 1 centimètre près les dimensions d’un parallélipipède rectangle sachant qu’elles sont proportionnelles ô des nombres donnés et connaissant le volume du (larallélipipède.

> 3“ On donne trois cubes : les côtés resi»ectifs de ces cubes sont 3**, 4>") On demande le côté d’un ipiatrième cube éipuvalcnl ,à la somme des trois premiers.

4" La hauteur H et le rayon R de'la base d’un cône .sont donnés.

GÉOMÉTRIE

chercher à quelle disUnce de la hast' il faut mener un plan parallèle à cette base, pour (jue le volume V du tronc do cône déterminé ait une valeur donnte. On appliquera la formule trouvée, en faisant H = io“, R = 5", V = 20**'. (ü,aGi4.)

Chapitre VI. — i" Si l’on inscrit dans un demi-cercle un demi-polygone régulier d’un nombre pair de côtés et qu’on lui circonscrive un demi-polygone semblable, la surface de la sphère engendrée par le demicercle en tournant autour de son diannètre sera la moyenne proportionnelle des surfaces engendrées par les polygones.

■a" Circonscrire à une sphère un cône droit dont la surface convexe soit le double de la base. ^

3" Couper une sphère par un plan tel^ que la section soit équivalente à la différence des deux zones déterminées par le plan séc.ant.

4" Inscrire dans une sphère un cône dont la base soit équivalente à la moitié de la surface convexe.

5" (Ailculer l’aire d’un triangle sphérique ABC, sachant que le rayon de la sphère est égal à i",2 et que les angles A, B, C, sont respectivement égaux à 78“ i5', f)A“45', 72’’ 40'. (o'*i,844o.)

C" Si l’on joint par une ligne droite les milieux de deux côtés d’un triangle, et si on le fait tourner autour du troisième côté, quel sera le rapport des volumes engendrés par les deux partieii de ce trianglef (i.)

7" Si l'on fait successivement tourner un parallélogramme autonr de deux côtés adjacents, les volumes engendrés seront en raison inverso de ces côtés.

8“ Trouver le volume engendré par un demi-hexagone régulier ayant 4“ do CAité, en tournant autour du diamètre du cercle circonscrit. (201**®, 062.)

çj" Trouver le volume engendré par un hexagone régulier, en tournant autour d'un de ses côtés « ( *) .

(’) Ici se termine la Géométrie i-lcmcnlairc proprement dite. Quelques propositions de géométrie dans l’espace ont été laissées de cété à dessein, pour être reportées, en géométrie deseriptife, au lieu même où leur application est immédiate.

Digilized

GÉÜMÉTKIE.

aa3