PRIISCIPES GÉNÉRAUX RELATIFS A LA RÉSOLUTION DES PROBLÈMES

.1. La résolution des problèmes est eifll-èmement importante. C’est aux efforts tentés pour résoudre certaines questions, qu’on doit la découverte successive des principales branches des Mathématiques. Chaque exemple particulier d’espèce différente oblige ou conduit à créer la théorie générale correspondante; et c’est en analysant avec soin la solution trouvée, 'qu’on parvient à la connaissance de cette théorie.

2. Pour (iémontrnr une proposition de géométrie, on peut employer deux méthodes ditférenles : Vanalyse et la synthèse; mais, pour trouver la démonstration elle-même, c’est par l’analyse seule qu’on peut procéder. . Dans la méthode analytique, on prend pour point de départ tes relations données, Phypotlwse faite et, en passant par une suite de déductions évidentes ou déjà démontrées, on parvient de proche en ])rochc jusqu'à ta conclusion cherchée.

Dans la méthode synthétique, on adopte une marche inverse. On énonce directement la règle à luifuelle Panalyse conduit, et l’on prouve par une série de raisonnements inattaquables, qu'en suivant cette règle les conditions de l’énoncé sont bien remplies.

On voit que ta synthèse n’est en quelque sorte que ta vérification de Ptundyse. L’analyse guide les inventeurs, la synthèse leur prouve l’exactitude des résullals auxquels ils sont parvenus.

Pour donner un exemple très-simple des doux modes de démonstration, supposons qu’on veuille inscrire un hexagone régulier dans une circon- Fip 1 .fèrencc [ fig. i ).

“ Analyse : Soit AB le côté de 1 he.xagone régulier

inscrit, soit O son centre. L’angle AOB sera le sixième

de quatre droits ou égal à - d’angle droit. D’ailleurs,

le triangle AOB étant isocèle, ses angles à la base au-

ront chacun pour valeur 3 ou d’angle droit. Par

suite, le triangle AOB est cquiangle et équilatéral. Le côté AB est donc égal au rayon OA du cercle circonscrit, d’où la solution connue.

Synthèse ; Je dis que si je prends la cor^le AB égale au rayon OA, AB représentera le côté de l’hexagone régulier inscrit. En effet, le triangle AOB

sera alors équilatéral et équianglc. L’angle .VOB sera donc égal à ^ d’angle

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droit, c'Oî»l-à-dire que cpl ansile st'ia bien langle au centre de l’IieNagono régulier inscrit. ^

En résumé, /’amih w Ir pnibli-mt- rcsolu fl roniliiit tmx rniiili-

tinns nfffssnires i>mtr ijii'H if soit ; lu srntbcsf cnonrf imnirdintfmfnl ht solution du problf/Uf rt prouff fnsuitc quf fcttf solution satisfait à r f/ionff.

3. Pour résoudre les problèmes de géométrie, il est impossible d’indiquer une méthode générale et certaine. La nature des problèmes qu’on peut poser est trop variable, jiour que la solution puisse à coup sûr être obtenue en suivant une marche déterminée. Cependant il existe des mélho<ics particulières qui s’appliquent plus directement à certaim>s classes de questions; et si l’on sait discerner à quelle catégorie appartient le problème dont on s’occupe, on a déj.à fait un grand pas vers la solution, puisque la manière dont les recherches doivent être dirigées se trouve connue d'avance.

Nous allons es,sayer d'indiquer les plus importantes de ces méthodes s|téciales, en tes éclairant jiar des e.xemplcs. Un consultera avec, fruit sur ce sujet les ouvrages suivants ; Examen des dijferentes Méthodes employées /mur résoiulre les /mMèmes de Géométrie; parti. l.amé. 1818. — Des Méthodes en Géométrie, par Paul Serret. iSîâ (*).

l. Méthode des substitutions. — Dans celle méthode, on diminue de proche en 'proche la diflicullé, en faisant successivement dépendre la solution cherchée de celle de problèmes de plus en plus simples. Celle méthode est, par sa nature même, extrêmement féconde, et elle se confond en quelque sorte avec l’analyse. Seulement, dans l'analyse proprement dite, on s'appuie sur des propriétés déj;\ connues, au lieu do passer rFun />rcmier inconnu à un inconnu /dus sim/de. Celte méthode est tout à fait comparable à la marche suivie en Algèbre pour la résolution des équations.

exempi.es ;

i" Etant donnés dcu.r côtés d’un triangle et ta tons'ueur de ta bissectrice de ran/;tc eom/iris entre res deux côtés, construire te tria/if/le

Je su/i/mse le /inddème rt’-solu, soit .ABC le triangle demandé : AB Cl .AC sont les deux cétés donnés, AI) est la bissectrice de l'angle A. Si F on /murait trvurer Fangle \, on rentrerait dans un cas connu ( Géom. 71 ).

Je mène par le sommet C une perjiendiculaire C(i à Aü; le triangle ACG sera nécess4iirement isocèle, et l’on aura