BG = AB-AC
Par suite, BG sera déterminée.
Je mène de même par le point D une |K>rpendiculairo EF à AD, le triangle AEK .seia aussi isocèle, et les jiarallèles El) et GC |>er-
FIb a
(•) Chez MAU.ET-B*r.ireur.n. P.iris.
Oigitized by
mcltronl de poser
géométrie.
ÊG“Dr;'~Ar.’
puisiiuo AD est la bissectrice de l’angle BAC. Le rapport sera donc déterminé à son tour, et l’on pourra, connaissant déjà BO, marquer le point E.
lyi^fjucstîon sct'd rdtiw/téi' nioTs h coftatruirc le triangle iswete AEI* , ce qni sera facile, cette construction dépendant ello-mème de celle du triangle rectangle AED dans lequel on connaît l’Iiypoténuse AE et l’un des côrés de l’angle droit AD. Le triangle AED étant construit, on connaîtra
l’angle - A et, par conséquent, l’angle A.
Bemarquons que le cété AC entre pour quelque chose dans la solution, puisque BG = AB — .AC. C’est là un point à noter : la marclw suhiv ne fM iU être convenable qtC autant que les diJférenU éléments donnés viennent tour à tour jouer leur rêle dans la solution,
2“ Par trois points donnés, faire //asser les côtés <run triangle écpàlatéral, de manière que sa surface soit uri maximum [fiff. 3-).
" Je suppose le problème résolu. Soient A, B, C, les trois points donnés, soit MNP un triangle éijuilaléral circonscrit au triangle ABC. Si l’on décrit sur AB et sur AC deux segments capables de 6o“, les sommets .M cl N appartiendront nécessairement aux arcs obtenus, puisque les angles d’un triangle équilatéral sont égaux à 6o".
Il suffira donc, pourobtenir un triangle àpiilatéral (/uclconque dont les célés passent res-, pectivemenl par A, B, C, de décrire sur AB et sur -AC deux segments capables deTai", et lie mener par le point .A commun à ces deux segments une sécante MAN. En joignant ensuite MB et NC et en prolongeant ces lignes jusqu a leur point de rencontre P, on obtiendra le triangle équilatéral MNP.
La surface de ce triangle équilatéral en fonction do son côté MN est
Kig 3.
Fig
MN y/3 ^ Pqjjj. qyg celte surface soit un maximum, il faut dont que MN
soit un maximum.
La question est ainsi ramenée à mener, par un /mint commun a deux circonférences, une sécante dont la longueur interceptee soit un maximum (J!g. 4)- ^ -
Soient les circonférences C et D qui se coupent en A, et soit une sécante quelconque MAN. Si l’on abaisse des centres C et D sur cette sécante les perpendiculaires CP et DB, la distance PR sera la moitié de la .sécante MAN. Menons DL parallèle à MAN. Dans le triangle rectangle CDL, on aura toujours DL ou PR < CD. CD représentera donc le maximum de PR, 2 CD celui de MAN, et ce maximum sera atteint lorsque la sécante MAN dexiendra jiaralléle à la ligne qui joint les centres des deux circonférences.
226 OÉOMÉTIUK.
MèlliDtlf pur symélrif. — {'.otin iii(?tlmflt‘ ronjiislt* ù donnt'r u nue |iiirtie (le la ligure consiiléréc une iiosilioii sjmétriijne (6Vo///., iUil) de relie <|irelle omi|>ail d'aliord. Si l'on choisit eonvenablenient l'axe ou le (ilan de symétrie, les éléments (|u’on doit comfiarer («jurront n'èlro pas altérés en granileur, <>l leur rhangomont de position [roiirra rendre la relation rlierehée, sinon intuitive, du moins plus farde à trouver.
FAKMPI.ES.
I" J'.tunf donnes tlenx /toints A et B cl une droite XY, trouver sur eeltr droite un point M tel, ipte ht somme AM -f- MB soit un minimum ( /?". 5).
Si les deux points A çt B étaient do rèlés diiïérentspar rap|>ortà XY, on résoudrait immédiatemenl la ipiestion en menant la droite AB. (iette remarque conduit à déterminer le point B', symélrii]ue du point B par rap.port à XY, et à joindre AB'. En cfTet, la ligne XY étant perpendiculaire sur le milieu de BB’, tous se.«. points seront à égale distance dos points B et B’, et il suffira de chercher le point M rh' XY pour liHiucl .YM -4- MB' est un minimum.
Il est facile de vérifier cette construction. Pour un autre point quelconque M' pris sur XY, on a A.M'-I-M'B = AM'-4- M'B', et le triangle .YM'B' donne AB' < .YM'-(-M'B', c'est-à-dire AM -+- MB < AM' + M'B.
Il est bon de noter que les angles BMY et B'.MY étant; égaux, il en sera de même des angles .Y.MX et BMY : les c/ietuins cherrhés sont ilonrégnlement inclinés sur tn d/riite XY. Toutes les fois qu'on a à considérer un maximum ou un minimum, on [h-uI s'attendre qu'une propriété partiru- ^liére y réjiondra.
On /tourrnil sit/t/mser les points A et B situés de côtés différents pur rn/i/Miil à XY', et demander que Ifl différenee BM — \\\ Jüt un iiiti.rimtitii (Jig. 0).
S’il s’agissait de doux points A et B' situés d'un même côté de XY, on prolongerait AB' jusqu'au point de rencontre M de cette droite avec ■XY" ; le point M serait le point cherché. Pour tout autre point M', le triangle AM' B' donnerait en effet
