B'M' — AM'< AB

r'est-à-dire

B'M' YM' < B'M - AM.

Kig. C

ri,:

Fig. 7 B

Pour rentrer dans ce cas, on déterminera donc le point B' symétrique du point B par rapport à XY. et l'on mènera ensuite la ligne B'A.M.

7° Dans un triangle isocèle ABC, ht somme des distances if un /mint quelconque de la hase AC nier deter côtés est eoiistantc ( fig. ").

Soient le \)oint O et les j)er|M;ndirulairi's OE et CKi abaissées de ce j)oint sur les deux côtés. Li^sanghs en A et en C étant égaux et les triangUts AOl'etUtlCétanl rectangles, les angles IT)A elGtK'

GÉOMÉTHIE.

seront égaux. Il en résullo que le point F', vvmfVnV/uo du point F, se trouvera sur le prolongement de (Xi. On aura d’ailleurs F'Li = OF'-i- OG = l)F-r(Xi. De plus, l'angle FAO étant t^al à l’angle ÜAF', AF' est nécessairement parallèle aueéié BC, et la somme ÜF + 0(] = F'ü n’esl autre chose que lu hauteur qui correspond au sommet A ou au sommet C. La proposition est donc démontrée.

On voit facilement quelle modification doit subir l’énoficé, Ini-sque le point O est pris sur le prolongement de la base.

6. Méthode des Jîgures semblables. — Dans cette méthode, on cherche, en se servant des éléments donnés, à construire une figure semblable à la figure demandée. En comparant ensuite les éléments connus dans les deux figures, 'on arrive à la solution, en passant de la figure construite à la figure à construire

EXEMPLES

I® Construire un carré, œn naissant ta différence qui existe entre sa diagonale D et son coté C.

• Si je construis un carré quelconque, ayant D' jwur diagonale et C' pourcété, ce carré sera semblable au carré cherché. On pourra donc poser

d’où

el C:

il restera à former une quatrième proportionnelle aux longueurs D’ - C’, D - C, et C'. ' *

2" On donne les trois hauteurs dun triangle ABC, cunstmire ce triangle

Je désigne par A, h', h', les trois hauteurs données, par a, a , les trois côtés correspondants du triangle eherché. D’après l’expression dç l’aire d’un triangle, on aura ' - •

ah =r a' Il = cfh".

On en détluit

ah a' h' a" h"

ldP~ldé" ~W'

Fig H.

ce qui revient à

lé

hh

Lés côtés O, n’, sont donc proportionnels aux longueur. s h', h.

Avec ces dernières longueurs comme côtés, on construiia un triangle A'BC' qui sera semblable au triangle cherché (Génm., 9o). Si l’on a A'C' = A', A'C' sera l’homologue du côtén qui correspond à In hauteur Ai^ / Abaissant alors du sommet B une perpendiculaire sur AT.' et prenant ^ sur cette perpendiculaire BD — A, puis menant par le point Ü une parallèle AC à A'C', le triangle ABC sera le triangle demandé.

cÿ.OMÉTRIE.

aaS

7. L’omploi (les figures semblables se relrouve encore <lans une autre méthode connue sous le nom de Mèihmle par inrrrsinn. Dans cette méthode, on renverse la question, c’est-à-dire ([u’on considère un problème auxiliaire dans lequel les données de la question directe deviennent les inconnues, et réciproquement. En résolvant ce problème, on obtient une figure semblable à la figure cherchée, et toute difficulté se trouve levée. Il n’est pas besom d’ajouter que le problème auxiliaire doit être plus simple que le problème direct, et qu’il doit exister entre eux une parfaite corrélation.

i” Imrrtrr thins un truwgtr donné ABC un triangU- xemlluble h un nutrr trUwf^lc donné def(^g. g).

On circonscrirn au triangle dcf un triangle semblable au triangle ABC. Pour cela, il suffira de mener par les sommets d, c, /, des parallèles aux

résolue, puis<|ue les côtés du triangle DEK sont connus de direction.

• '1° Inscrire un carré dans un drmi-cerclr [/ig. lo).

Nous résoudrons d’abord la question inverse : circonscrire un demi-cercle à un carré. Soit le carré ABCD. Nous prendrons lo milieu O de sa

La figure cherchée est semblable à la ligure''qu’on vient de construire. Si B 'est lo rayon du demi-cercle donné et x le côté du carré demandé, on devra donc avoir aussi

valeur qu’il sera facile de déduire des éléments connus. L’expression trouvée revient à la proportion suivante

EXEMPLES

cotés du triangle .\BC. La figure

formée du triangle abc ainsi ob- '

tenu et du triangle dej sera alors semblable à la figure que l’on cherche ; et le sommet inconnu D du triangle DEF, inscrit dans le triangle ABC et semblable au triangle dcf, partagera AB comme d (lartage ab. Le point D étant déterminé, la «jucstion sera

Fig.. 10.

base ,\B, nous Joindrons OC ; OC sera le rayon cherché. Ix cercle décrit avec ce rayon passera

c. en effet par les sommets C et D, et le côté .\B

d’où

OÉOMÉTRIE.

aap

. On mènera donc au point F la tangente Fü égale au diamètre EF', et l'on joindra OG. I-c point d’intersection C de fXj avec la circonférejice sera l’un des sommets du carré ABCD. il restera é tracer O) parallèlnment à EF et à abaisser des points C et D, sur ce diamètre, les perpendiculaires CB et DA. On aura bien • . .

, oo oc !

of“ob’

c’est-à-dire ’ * •*

~R~ I ~ Ob'

8. Mcthwlc lies relalUms auxiliaires. — Nous désignons ainsi la méthode qui consiste à faire intervenir des surfaces ou des volumes pour - trouver une relation entre lignes, des lignes ou des volumes pour trouver une relation entre surfaces, des lignes ou des surfaces pour trouver une relation entre volumes. La géométrie élémentaire présente un grand nombre d’applications de cette méthode.

' .. EXEMPI.RS.

i" La sniiime tics /H'/pe/ttliailaircs abuis.sées rfun point O pris dans l’intérieur iFuu triangle éijuilatéral ABC, sur ses trois côtés, est constante [fig. II). *

-Si l’on joint le point O aux trois sommets, la somme des triangles formés constituera le triangle écjuilatéral, et l’on aura, en désignant par h sa hauteur et par c son cété,

-(OP-t-O0 + OR) = — , . ,, •

d'où, pour la somme des perpendiculaires, .*

OP-+-OQ-t-OR = //.

Si le point O était extérieur au triangle propo.sé, on aurait ^