OP-00-4-OR
d’où
OP-OQ-t-OR = A.
Dans ce cas, c’est la différence entre la somme de deux des p'erpendiculaires et la troisième qui serait égale à la constante A.
a" Suit un polygone régulier de n côtés : la somme des distances iFtui /toint pris dans F intérieur du imlygone h tous .ses côtés est égale h n fois son aimthème.
En effet, désignons par c le côté du polygone et par p, //, p”, etc., les perpendiculaires abaissées du point intérieur sur les différents côtés. La somme des triangles formés en joignant ce point à tous les sommets du polygone en représentera l'aire, qui sera exprimée par
Fig II. -
GÉOMÉTRIE
net!
D'autre part, n étant l'apotliéme, cette aire a aussi tiour cxiiression — • En égalant les deux valeurs, il restera bien
■ • p-tr p'->r — ntl.
Si le point donné O était choisi extérieurement, l’aire du polygone serait la diH'érenco de deux sommes de triangles ayant pour sommet commun le point O et, pour bases, les premiers les cétés du polygone, appartenant à ' sa partie eonenve vers O, les seconds les cétés du polygone appartenant à sa partie eonvexe vers O. La différence des deux sommes de perpendiculaires correspondantes serait encore égale à nn.
Si le polygone proposé n’était pas régulier, mais avait toujours ses célés égaux, on aurait, en désignant son aire par S,
(I ou
Fig. n.
9. Méthotle jMir projection. — Pour appliquer cette méthode, on regarde la figure plane qui répond au problème proposé, comme la projec tion d'une certaine figure de l’espace ; et ce rapprochement permet d’arriver
* rapidement à la solution de la question, lorsque la figure de l’espace a été convenablement choisie.
EXEMCLE.
Étant données deux droites dont le -i>oint de concours est inaccessible ou inconnu, mener par un point donné c une troisième droite dont la direction passe parce fsoint de concours {fig. la).
Supposons le problème résolu, et soit O le point commun aux deux premières droites «O et éO et à la troisième droite demandée cO. On pourra regarder la figure plane liabc comme la projection d’une pyramide triangulaire qui aurait pour base le triangle abc et dont le sommet serait projeté en O : les arêtes latérales do cette pyramide seront alors représentées en projection par les lignes rtO, bO , rÜ. Ceci posé, si l’on coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, on déterminera un triangle semblable au triangle abc. Cæ triangle se projettera en véritable grandeur sur le plan abc et, pour figurer sa projection, comme la section est faite à une hauteur indéterminée, il suffira de mener, dans la jwrlie des droites «O et iO qui est accessible, a' b' parallèle à (d>, puis b'c' et n'c' parallèles à bc et à ac. fiCS deux dernières lignes se couperont en un jwint c' apiKirtenant nécessairement à la projection cO, qui dés lors sera déterminée de direction.
10. Nous pouvons citer encore la Méthode de réduction à Pabsurdc et la Méthode des limites.
La première consiste, lorsqu on veut démontier une certaine égalité, à
Digiti-' -i i / Vjoogle
su(i|iii8i'i' (|ii'(‘llc II a |in$ lien cl à proiivor qiir I inégalili^ admiM- oiitraiiie une alisurditd manifeste ou conduit à des conséquences que réniiiicé refKiusée. C’est en suivant cette méthode que nous avons éiahli (6'éo«;., 223) que doux pyramides de bases équivalentes et de liautem> ^'ales, étaient àpiivaientes.
lai méthode dos limites nous a constamment servi on géométrie pour étendre aux lignes courbes les théorèmes applicables aux lignes brisées. Cette méthode consiste à substituer à des grandeurs fixes H, C, des grandeurs variables n, fi, c,..., ayant respectivement A, b,
pour limites. Si l’on trouve alors que It’s variables a. h. c,. . .. sont lii^ dans tous leurs états de grandeur par une relation constante
il. Aléthmlf des Lieiij: géoiiiéirit/iies. — C^tte méthoile est extréii... ment féconde. Pour fixer la position d'un point, il faut deux éléments, r/rv/.r eonditio/is. Si lu problème prü|>osé consiste dans la détermination d'un point, il faudra faire abstraction de l'une des conditions uu\(|uelles ce point doit satisfaire. I.'autrc condition correspondra à un certain lieu géométrique sur lequel devra nécessairement se trouver le point incoiiiiii. Si l'un fait ensuite alistraction de la condition mise ainsi en évidence, la condition laissée de côté donnera à son tour un autre lieu géométrique du point cherché, qui sera à la rencontre des deux lieux obtebus.
.1“ Construire un trtnnglc, connaissant F un de ses riités, la hauteur utrresfmndanlc et le rapi>nrt des deux autres côtés [Jtg. i3 ).
Si BC. est le côté donné, il s'agit de déterminer la position du troisième sommet A ^ d’après les deux autres conditions do l’énoncé. La hauteur A du sommet A au-dessus diicété . BC étant connue, si l’on ntène à BC la parallèle
LM de manière que la distance des deux paral- I' c. iMes soit égale à h, LM sera un premier lieu géométrique du sommet A. Le rapport des . doux côtés AB et AC étant déicrrainé, le som-
met A fera aussi |iartio du lieu géométriipie
dos ()oints dont les distances aux points B et C sont danè un rapport constant égal an rapport donné. On construira donc les deux |H)ints B et D' qui. situés sur BC., appartiennent à ce second lieu géométrique, on décrira sur ÜD’ comme diamètre une circonférence ( Céom., 91 ), et le sominel X sera à l’intersection de cette circonlérencc avec la |>arallele LM. Il y aura deux solutions ou une s»'ulc. suivant que LM coupera ou touchera la rirconférènce. l.c problème sera impossible si L.M ne rencontre \ias la CM conférence.
produit de son périmètre par la moitié de l'apothème, nous avons d^luTt Ja mesure du cercle éi^ale à 'ittH x etc.
EXEMPLES
KÉOM^.TRIE.
•J."' Construire un triangle ilans Ivifuel on connaît an côté, C angle opposé et la somme ou la diÿérenrc des deux antres côtés (Jîg. i4 )•
Si IK'. est le c<ité donné, l’angle opposé A étant connu, le troisième sommet A du triangle cherché appartiendra au segment capable de l'angle A décrit sur le cété BC. U faut trouver un second lieu géométrique du sommet A.
Pour cela, je remarque que, le problème étant supposé résolu, si l’on porte sur le plus grand côté AB ou sur son prolongement une longueur AD' ou AD égale au second côté AC, les deux triangles CAD', CAD, seront isocèles. Si l’on donne ^ la somme AB + AC, la longueur BD sera connue;
'si l’on donne la différence AB — AC, c’est la longueur JJD' qui sera déter-
* minée.
* Dans le premier cas, l’angle D du triangle CAD sera moitié de l'angle extérieur A. Dès lors le point D se trouvera à la rencontre de la circonférence décrite du point B comme centre avec BD pour rayon et du segment “taiiable de l’angle ^ décrit sur BC. Le point A se trouvera ensuite'
il la rencontre do la droite BD et du premier segment capable de l’angle A décrit sur BC.
Dans le seront! ras, l'angle extérieur D' sera égal à la somme des angles
A et C du triangle isocèle CAD', c’est-à-dire à A 4- ou à - -I-qo".
Le point D' se trouvera donc à la rencontre de la circonférence décrite du point B comme centre avec BD' pour rayon et du segment capable de A
I angle -4- 90" décrit sur BC. Le point A se trouvera ensuite à la rencontre de la droite BD' et du premier segment capable de l’angle A décrit sur BC.
12. Le problème que nous venons de résoudre nous conduit à une remarque importante. Si l’on a besoin d'introduire dans la construction d’une ligure des lignes auxiliaires, il faut toujours faire en sorte de les rattacher aux autres éléments, de manière que l'une de leurs extrémités .soit connue de position. C’est ainsi que, dans l’exemple précédent, la ligne auxiliaire BD ou BD’ part du point B. On n'a plus alors qu’à déterminer, soit un autre point de la ligne auxiliaire considérée, soit sa direction.
Dans tous les cas, on devra compliquer le moins possible la figure destinée à représenter la liaison qui existe entre les données et les inconnues de la question.
i:i. On fait souvent intervenir l'algebre dans la résolution d’un problème de géométrie, et la construction du problème correspond à la construction de la formule obtenue. Nous en avons déjà donné des •>xem|)les, nous en ajonlerons ici quelques-uns.
KXKMPLES.
I" Etant donne un triangle \W. mener ti la base Bti une itcrpemli-
oÈOMÉTniE. a33
ailtiin- DE ilf manière t^c 1rs triangtrs ABC,, DEC, soient dans un rapport
donne - (fig. i5).
■ Posons EC = x, DE=/, BC = «. Soit /i = AH la hauteur correspondante à la base a. On devra avoir, d’après M’énoncé,
ah P xy- q
Les triangles semblables AllC, DEC, donneront, en désignant CH par«',
Divisons membre à membre les deux relations obtenues, il viendra
an
xr
troù
•ly ’
et
•rsera donc moyenne proportionnelle entre les longueurs n x étant
déterminée, on la portera sur fJl à jwrtir du point C et, par le point K obtenu, on élèvera une perpendiculaire ED au côté CB Jusqu'à la rencontre du côté CA. Si l’on a ,r > c’est-à-dire ^ > n' ou - <
le point do rencontre D sera situé sur le prolongement du côlé CA, et le triangle DEC ne si-ra plus contenu dans le triangle ABC.
Supposons qu'on donne le rapport ^ =-■ •>., on aura
lan'
Fig. i6.
X sera dans ce cas la moyenne proportionnelle des longueurs - et a'. ■x° V.tant donné un tronc de cône à bases parallèles, le partager en deux parties qiti soient dans un rapport donné - 1 par un plan parallèle aux bases {Jig. i6).
•Désignons par K et c les rayons AO et Bl des Irases du tronc de cône, par x le rayon CL de la section déterminée par le plan parallèle. Soit S le sommet du cône dont fait partie le tronc de cône proposé. Les trois cônes SBI, SCI., SAO, seront semblables et proportionnels aux cubes des rayons de letirs bases (éîcVim., Ü3fl ).On pourra donc écrire
cône SBI cône St',1. cône SAO
a34 , GÉOMÉTRIE.
On en déduit l’égalité suivante ;
cùiio SCL — cône SBl cène SAO — cône S(]l.
Lcs'numéraleurs des rapports considérés représentent les deux |wi lies du tronc de cène, parties qui doivent être entre elles comme les nonüirt's /> et 7. Ün aura donc rmalement
d'où
On on tire
~ R’ ~ jr’
/OO + c/c’
et jr ~
= ^/pJL±JUl.
Dans le cas donne , on ciilailcrn x, on ne le construira pas.
Si l’on veut connaître la distance v du plan sécjmt à la base' inférieure, les triangles semblables CBE, ABU, donneront, 11 étant la hauteur du tronc.
d’où >■ = H •
Si l’on veut partager le tronc de cène en deux parties équivalentes, il faut faire /> = 7. Il vient alors
3“ Circonscrire à une sphère donnée un cône droit de surfncc lotidc donnée [f g. \-j ). -
Nous représenterons par vd' la surface donnée. Nous désignerons par x et v le rayon de la base et la hauteur du cène circonscrit, par z son apothème. Rendant que le demi-cercle BCD engendre la sphère en tournant autour du diamètre BO, le triangle re»’tangle SAB , en tournant autour du même axe, engendre le cône circonscrit.
On a immévliatemenl
Fie '/• s
c’est-à-dire
■nx ( J -E i) = rfé, .
Les triangles semblables SAB, SÜC, donnent ensuite .r 1 Z
Il en résulte
et, par suite,
don —
cAoMÿ.TniE.
Rempla^anl — par sa valeur en fonction de d viendra enlin r>-> , . D ’
d’où
r — xr
y (x—xr)
L’équation correspondante
, ; rf — rt* r + 2/v/’ = O
fera connaître >' et, ensuite, j et i.
Remarquons' que l’apoUième du cône circonscrit devient iniini en devenant parallèle, soit au ravon de la base, soit à la hauteur du cône : i en est donc de môme de la surface totale do ce cône, et cela a lieu quand son sommet S sc confond avec l’extrémité l) du diamètre BD ou s éloigné à l’infini sur ce diamètre prolongé. Entre ces deux valeurs inlinies, il y a donc pour la surface totale du cône circonscrit une valeur minimum.
La condilion de réalité des racines de 1 équation ,
nous donne c’est-à-dire
— rt’ > -r xrit^ = o
fl' — 8rt’r’ > O,
représentant le minimum de«’, 8nr’ représente le minimum de la surface totale du cône. On a alors » .
» = — =r 4 r, ' VI r
et il en résulte ce qui revient à
7‘^Tr
xr\^
.c = r\'x el z='ir]/x.
On voit que le cône dont il s'agit a uno surface toUile double do la surface sphérique et, par suite aussi, un volume double de celui de la sphère ; sa hauteur est d’ailleurs double du diamètre de la sphère.
Considérons l'expression du volume du cône circonscrit. Ca-tte expression est
et devient, en remplaçant .r’ par sa valeur ^
- nr
Le minimum de ce volume correspond au minimum de
'v ,. Ÿ — -xr
. f'.ÉOMÉTRIE.
jalons rette qnanlité à une* variable h. Nous obtiendrons l équalion .’■* — !>y + irh = O.
l-a condition de réalité des racines donne
cest-a-<]ire A > 8r. Le minimum de h étant 8r, le minimum du volt du cône est - T;r\ et la hauteur correspondante est r = - = 4r. Le c
Soient h, c, el, les quatre côtés d nés, X et v les diagonales cherchées, angles opposés du quadrilatère devant é supplémentaires, si l’angle B est aigu, l’i gle D sera obtus, et^i l’on mène les h; teurs CL et A.M dos triangles ACB et A( l’angle ADM sera égal à l'angle B. Les I angles rectangles CLB, AMD, seront de semblables et donneront
