CHAPITRE II

THÉORIK DES TRANSVERSALES ET DES FOI.AIRF.S. Transversales dans le triangle.

- Ui. Théorème PONDAME.NTAL. Lorsqu une droite rencontre les trois cAtes • iPiin triangle, prolongés s'il est nécessaire, elle détermine {par les distances des f/oints d'intersection aux extrémités de chaque côté ) six segments tels, que le produit de trois segments sans extnanilé commune est égal au produit des trois autres [fig. 19).

La transversale coupera deux côtés du triangle et le prolongement du troisième, ou bien elle coupera les prolongementsdes trois côtés. La démonstration sera la môme dans les deux cas.

D’après la figure, le triangle ABC étant coupé par la transversale DEF, les segments à considérer seront DA et DB, EA et EC, FB et FC. Menons par le sommet C la parallèle CG au côté opposé AB, jusqu’à la rencontre de la transversale. Les triangles semblables.

FCG, FBD, donneront

CG FC

DB ~ Fit'

• De même, les triangles semblables ECG, EAD, donneront

CG

DA “ F. a'

(") On pourrait ausfli résoudre le probiènie proi>ose par la Tricononiclric. Ou aurait les trois équations

T’ = o'-+-i' — s ah eos B ,

= — icd cos I) ,

cos U = — cos IS.

Eig 19.

238 géométrie.

Divisons membre à membre Ic-s lieiix égalités obtenues, il viendra

DA EA.FC 1)B ~ EC.FB’

d'où l’on déduit

DA.EC.FB = DB. EA.FC.

16. Réciproquement, si trois points situés en nombre jmir sur les cétés tCun triangle, en nombre impair sur les prolongements de ses côtés, r déterminent six segments tels, que le produit de trois segments sans extrémité commune soit égal nu produit des trois autres, on peut a ffirmer que les trois points considérés sont en ligne droite (fig. 19).

On a, par hypothèse,

DA.EC.FB= DB. EA.FC.

Si la droite qui passe par les deux points D et E no contenait pas le point F, elle couperait le côté BC en un point F', et l'on aurait d aprcîv le théorème précédent