BC ~ BD

Les points C et D, pieds des deux bisscctrires, sont donc conjugués harmoniques par rapport au côté AB. Dés lors les deux côtés OA et OB du triangle et les deux bissectrices OC et OD forment un faisceau liarmoni(]ue.

Remarque. — Il suit de là (|ue, si t on riètermine sur le iliamèlre CD d’une circonférence CÜD les ftoints conjugués luirmoniqucs A et B, le rapport des distances tC un point quelconque O de la circonférence aux deux points A et B restera constant; car les bissectrices des angles variable%VOB, BOA', passeront constamment par les points C et D, conjugués harmoniques relativement à AB.

Fig. î8

28. Proposons-nous de diviser harmoniquement une droite AB dans le rapporl de deux droites données met n [fig. ag).

On mènera par le point A une droite quelconque AO = et par le point B

une parallèle à AO, sur laquelle on prendra BE ^ BK=; n. Puis on tracera lesdroitesOE et OF, qui couperont AB et son prolongement aux points demandés C et D. En effet, on aura à cause des parallèles

^ M! — .fL I ^ AO m BC“BK“»’ BD"^BF~V’

d’où

AC AD m

bc“ Bi)~ « ■

Connaissant trois droites itun faisceau luirmonique, on construira la quatrième pur un procédé analogue [Jig. ag).

Soient OA, OC, OB, les trois droites données. On mènera par un point B pris sur la troisième droite OB, une parallèle à la jvreraière droite OA. Cette parallèle cou|)era la seconde droite OC au point E. On prendra alors sur le prolongement do BEune longueur BK = BE ; le point F appartiendra nécessairement à la quatrième droite du faisceau. En effet, si l'on trtice par le point B une droite quelconque qui coujk les quatre droites considérées aux points .V, C, B, D, le point I) sera le conjugué harmonique du point C par rapport à la droite AB. Car on aura toujours