BC ~ BE BD BF

d’où, à cause de BE = BF,

GÉOMÉTRIE. ' a4^

Si les droites données étaient OA, OB, OD, on déterminerait OC en suivant une marche identique. Au lieu de BE, c'est BF qu’on trouverait directement.

'’^Lo choi.x du point B et la direction de la droite ACBD étant arbitraires, la construction indiquée conduit en môme temps à cette remarque importante : Une sérantc quelconque est dii’isée harmoniquement par un faisceau harmonique. ■* ’

29. D’après cette remarque, si l'on donne 29) un angle COD et Un point A hors de cet angle, si l’on mène par le point A une sécante quelconque .ACD, le lieu du point B, conjugué harmonique du point A par rapport aux points d’intersection C et D de la sécante avec les côtés de l’angle, sera la droite OB conjuguée harmonique de la droite OA dans lo faisceau harmonique OACBI). Ainsi, pendant que la sécante tourne autour , du point A, le point B décrit la droite OB. Le point A est appelé /«i/fde la droite OB, et la droite OB est la i>olairc du point A par rapport à l’angle COD. *

Si Con veut trouver lei polaire du jmint A fuir rapixsrt h tangle COD {fig. ag), il suffira d’après ce qui précède (28) de mener, entre les côtés de l’angle, une parallèle EF à la droito*OA. Le milieu B de cette parallèle apf/artiendra à la jmlaire OB. , »

Si l’on veut, au contraire, trouver le pôle A, étant donnée la jmlnire OB, la question reviendra à chercher la quatrième droite OA d’un faisceau, lorsqu’on connaît les trois autres OD, OB, OC (28).

» ‘ 30. On donne un tutgle COD et un point A hors de cet angle, t ki mène par ce point deux sécantes quelcompics ACD, AC'D', et Fort joint diagonalement les /mints d intersection CetD', C' et D. Les droites nlitrniies .se Croisent en iil sur la polaire du point K jmr rap/mrt a Fangle CO\i[Jig. 3o), Déterminons le point B, conjugué harmonique du point A par rapport àla droite CD. Les quatre droites MA, M(', MB, MD, formeront un fai.s-

ccau harmonique (27). Par suite, lu point B' où MB prolongée coupera la sécante AC'D', sera le conjugué harmonique du point A (Kir rap(iort à la droite CD'. Les deux points B et B' détermineront donc la (wlaire du point A («r ra()porl à l’angle COD, et comme la droite BMB' (lasse par le point O, on obtiendra celte (lolaire en traçant OM.

Réciprociuement, si f on prend un /saint M quelconque sur la /solaire OB, si Con mène /sar ee /saint les droites CIV et C'D arrêtées aux côtés de t angle COD, les droites CD et CD' /snslongées vicmlrnnt se cou/ser nu /sôle A (fig. 3o).

En effet, suci(>o8on5 un instant ({ue lo point A,, conjugué harmonique du |X)int B par rap(>ort à CD, 110 se trouve (las sur CD', et menons la droite AC'. AC' prolongée viendra cou|)cr OD en un point D, dillérenl de D'. Si l’on jointalors CD,, on coupera C'D en un point de la (Hilaire OB qui ne pourra être que le point M. Par conséquent, les deux droites (’D, et CD' ayant deux (loinls communs Cet M, ne (leiivenl dilTérer, et la droite CD' (irolongéc passe nécessairement (larle (loinl A.

Fig. ?o.

■ géométrie.

Applications.

3i. Soit un quadrilatère ABCD. Prolongeons 3i ) les côtés opposés AB et CD, AD et BC, jusqu’à leurs rencontres aux pointe E et F. L’ensemble ainsi obtenu porte le

Fig 3 1 .

nom do (/umlrilatère complet.

Ce quadrilatère a pour troisième diagonale la droite EF.

Ou voit qu’un quadrilatère complet n’est que le système formé par quatre droites indéfinies qui se coupent en six points. En joignant les points opposés deux à deux, on a les trois diagonales du quadrilatère.

Dans un quadrilatère comidet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les

4, ■ detijc autres.

'' En effet, soient G, H, L, les points d'intersection des trois diagonales. D'après le théorème précédent (30), le point H est le pôle de la droite ACG par rapport à l’angle EAF, de sorte que les points de rencontre H et G de la diagonale EF avec les diagonales BD et AC, la divisent harmoniquement. Do môme, le point F est le pôle do la droite EL par rapport à l’angle AED, de sùrte que Lest sur AC le conjugué harmonique du point G, et sur RD, le conjugué harmonique du point II.

."jS. On peut s’appuyer sur ce qui précédé (30) pour mener par un point donne une droite qui roncoure aoer deu.T droites données, ces droites ne sc coupant pas dans les limites du dessin (voir une solution très-simple de ce problème, 9).

Soient [Jrg. 3a) AC et BD les deux droites données, soit M le j>oint donné placé entre les deux droites. On tirera pa'r le point M les deux

droites AD et BC. En joignant leurs points d’intersection avec les lignes données, on obtiendra les droites AB et CD qui, prolongées, iront en général se couper en un point H. On pourra toujours opérer de manière que ce point soit compris dans les limites de l’épure; Par le point H ainsi déterminé, on tracera la sécante IIEF aux deux lignes données, et l’on joindra en croix les points d’intersection obtenus avec les points C et D. l.es droites CF et DE so croiseront en I. La droite MI sera la polaire, du point II par rapjwrt à l’angle que forment les droites AC et BD. Des lors Ml ira passer par le point de concours O de ces droites.

Supposons maintenant {Jîg. 3a) que les droites données soient AB et CD et que le point donné F soit extérieur à ces droites. Par un point

GÉOMÉTIllE.

quelconque O, on mènera les droites OAC, ÙBDF, dont l'une passe par le point donné F. On joindra en croix les points d'intersection de ces droites avec les lignes données. Les droites ainsi obtenues, AD et BC, se croiseront en M. On mènera alors la droite F'C qui coupera en I la dfrection UM;’ puis on joindra DI qui coupera AC au |K)int E. La ligne FE sera la direction demandée. Car la droite OMI est, par rapport à l'angle COI), la polaire du point II où viennent se rencontrer les droites AB, CD, EF.

On pourra mettre à profit les solutions précédentes, pour tracer par un point donné une droite allant concourir avec deux autres droites, visibles seulement dans une partie de leur parcours; pour trouver un point situé sur le prolongement d’une droite inaccessible, ou encore, pour prolonger une droite donnée au delà d'un obstacle arrêtant la vue.

Pôle et polaire dans le cercle.

' 33. Si par un point O pris dans le plan iVun cercle de diamètre .AB,

on traée une sécante sptclrnnque EF à ce cercle, le lieu du point I conjugué Imrmnniiiue du jx>int O par rapport h la corde EF, est une droite perpendiculaire au diamètre ABf/«i passe par le piint O {Jig- 33).

Déterminons le point H, conjugué harmonique du point ü |>ar rapport au diamètre AB qui passe par ce point, et soit I le conjugué harmonique du mémo point par rapport à la corde quelconque EF. il suffit, pour démontrer le théorème énoncé, de prouver que la droite 111 est perpendiculaire sur AB.

Ceci (tosé, puisque les points ü et 11 sont conjugués liarmoniques par rapport à AB et que les — L points E et F appartiennent à la circonférence, on aura nécessairement (27, Remarque) :

EH FII , . , .. EH EO EO~FO’ j.|i px)‘

Suivant que le point ü sera extérieur ou intérieur à la circonférence, la droite ilO sera donc la bissectrice de l'angle F’IIL ou de l'angle EHF, extérieur ou intérieur par rapport au triangle EHF. I.es droites llp. HF, Hl, HE, formant par hypothèse un faisceau harmonique, il faut alors que la droite III soit à son tour bissectrice de l'angle intérieur EIIF ou de l'angle extérieur niL (27), c’est-à-dire qu’elle soit perpondiculairc Sur 110 ou sur le diamètre OAB.

On dit que le point 0 est le />d/c delà droite 111 et que la droite III est la polaire du point O, par rapiMrt au cercle AB.

31. Ijb point C étant le centre du cercle ou le miRcu de AB, on a la relation (2U)

.AC’= cii.œ.

On peut déduire de (jette relation plusieurs conséquences importantes.

24B GÉOMÉTEIE.

Par un point O extérieur à une circonférence 34), menons à cette circonférence les tangentes OM et ON. Traçons la corde MN qui -it .joint les points de contact M et N, et

‘ qui est peri^endiculaire au diamètre OAB.

Le triangle rectangle OMC donnera .