CH'.CO' = CH.CO= AC

Le point H' sera donc bien le pied de la polaire du point O'. • ' .

36. Réciproquement, si la droite XY tourne autour du point O, son pôle

appartiendra toujours à la polaire

Fig. 36.

du point O [Jîg. 36 )■

Car, si l’on détermine la polaire IH du point O et si l’on abaisse, du centre C de la circonférence , une perpendiculaire CO' sur la position quelconque de la droite XY, les deux triangles semblables CIH, COO’, donneront toujours O CH ’ ' CO ~ CO’ '

GÉOMÉTRIS.

d'CMI

Fig. 37.

a.co'= cn.co=r AC’.

U) point I sera donc lo pôle de la droite XY.

37. COROIXAIBES. 1” St des diffiérents points tPtuie droite on trace des couftles de tangentes à une circonférence, les cordes de contact viennent se croiser au pAle de la droite considérée. En effet, les cordes de contact obtenues sont les polaires des différents points de la droite (34, 33).

a" Si tftm point on mène « un cercle une série de sécantes, les points fie rencontre des couples de tangentes corresftondantes appartiennent à la polaire du ftoint considéré. En effet, les sentes passant par un même point, leurs pèles se trouvent sur la polaire de ce point (34, 36).

3” En joignant les pèles de deux droites, on obtient Ut polaire de leur point de rencontre. En effet , ces deux droites peuvent être regardées comme les positions différentes d'une droite passant constamment par leur point de rencontre (36).

4° D’après ce dernier corollaire, si deux fxilygones d’un même nombre de côtés, tracés dans te plan d’une cirtx>nférence, sont tels, que les sommets de Pun soient les /tôles des côtés de Future, Ut propriété rériprtM/uc aura lieu; c’est-à-dire que les sommets cLi second polygone (/xnnts de rencontre de ses côtés ) seront à leur tour les /tôles des côtés du premier /tolygone.

On donne alors aux deux polygones le nom de /tolaires réci/troques.

On voit que, si [Jig. 3y ) un polygone .\BCDE est circonscrit à un cercle, on obtient son polaire réciproque en formant le polygone inscrit qui correspond aux points de contact successifs ^7, b, ç, d, e. Car chaque sommet A du polygone circonscrit est le pèle du cùté opposé ea du polygone inscrit (34).

Application.

38. Dans tout htxagone circonscrit à une circonférence , les diagonales qui joignent les sommets o/tjtosés ( c'est-à-dire le /tremieret le qtuttrième, le stcond et le cinquième, le troisième et le sixième), se cou/tent en un même poirU ( yfg. 38 ).

Soit riiexagone circonscrit AffCDEF. En Joignant les points de contact successifs, nous formerons l'hexagone inscrit abedrf polaire réciproque ^du circonscrit (37, 4“).

Ceci posé, désignons par L, M, N, les points de rencontre des célés opposés de l'hexagone inscrit (23). Les sommets A et I) étant les pôles des côtés ab et de, le point do rencontre L de ces ® côtés sera le pôle de la diagonale AD (37, 3“). Do même, les points de rencontre M et N des côtés bc et ef, cd et j'a, seront les pôles des diagonales BE et CF. Or les trois )>uints L, M, N sont en ligne droite (23); donc, les trois diagonales de l'hexagone circonscrit se couperont en un même point, |)ôle de la droite LMN(35).

Fig. 38.

a5o GÉOMÉTRIE.

Ce théorème, comme celui sur lequel il s’appuie, n'est qu’un cas particulier d’un théorème beaucoup plus général, applicable à toute courbe du second ordre et dû à M. Brianchon. Il ne dépend pas de la grandeur des côtés de l’hexagone, c’est-à-dire qu’il subsiste encore lorsque, quelques-uns dos angles de l’hexagone devenant égaux à deux droits, deux côtés do cet hexagone se réunissent en une seule tangente à La circonférence, dont le point de contact représente encore le sommet qui correspondait primitivement au point de rencontre de ces deux côtés. ,

Ainsi, l’on peut dire que, dans tout triangle circonscrit à ta circonférence, les droites qui joignent chaque sommet au point de contact du côté opposé, se croisent en un même point.