EXERCICES ET QUESTIONS DIVERSES

(céomCtrie plane.)

Fig. 3g.

Problèmes divers. ,

39. S(nt un angle XAY. Prenons sur les côtés de cet angle AB = AB*, .AC = AC', et Joignons en croix les points B et C', C et B'. Ixs droites BC' et CB' se couperont en un point M qui appartiendra à la ■bissectrice de r/ingle XAY [/g. 3g).

En effet, les deux triangles ABC', ACB', sont égaux comme ayant un angle commun compris entre deux côtés égaux chacun à chacun. L’angle en B est donc égal à l’angle en B', l’angle en C à l’angle en C'. Par suite, comme AC — AB ou BC est égal à AC'-^ AB' ou B'C', les deux triangles BMC, B' MC', sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. On a donc BM = B'M. Lès deux triangles ABM, AB'.M sont alors égaux comme ayant un angle égal (B = B') compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , et l’angle BAM est égal à l’angle B' AM.

■10. Si la bissectrice d’un angle d’un triangle divise le côté opposé en deux parties égales, ce triangle est isocèle (fig. 4o).

Supposons que, dans le triangle ABC, la bissectrice AD de l’angle A soit en môme temps une médiane du triangle. Prolongeons AD d’une longueur D.A' = AD, et joignons CA'. Los deux triangles BAD, CA‘D, seront égaux comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux. Par suite, AB = CA', et l’angle BAD = DAG, est égal à l’angle CA'D. Le triangle ACA' est donc isocèle, et l’on a AC = CA', c’est-à-dire AC = AB.

■il. Soit un triangle ABC [Jïg. 4l)-' Menons B'C' /raratlèle a lu base BC, joignons en croix les points B et C, C et B' : le point d’intersection M des droites BC' et CB' apfmrlicndra h la médiane AD du triangle.

GÉOMÉTRIE

Le point D étant le milieu du côté BC, il -faut prouver que les trois points D, M, A, sont en ligne droite. Soit , en effet, D' le point de rcnj. •^ig- 4'- contre de DM prolongée avec B'C'. Les trois

droites BC', CB', DD', étant concourantes, coupent proportionnellement les deux parallèles BC, B'C'. Le point D étant le milieu do BC, le point D' est donc le milieu de B'C'. Les trois droites BB', CC', DD', coupant alors proportionnellement les mêmes parallèles BC, B'C', viennent concourir au point A.(Geom., 98).

42. Construire les cercles tunuents aux trois côtés d'un trianslc ABC

K fis- 4^)-

Les bissectrices des angles intérieurs du triangle donné se coupent en un point O situé à égale distance des trois côtés. Donc , si du point O

Fig. 4a.

comme centre avec celte distance 01 pour rayon on décrit une circonférence, elle sera tangente intérieurement aux trois côtés du triangle.

Menons maintenant les bissectrices desangles extérieurs du triangle. Ces angles, deux à deux, opposés^ par le sommet, sont au nombre de six.

Leurs bissectrices , deux à deux en ligne droite , formeront un 'triangle 0'Ü"0'”, dont les sommets seront les centres de trois nouvelles circonférences tangentes aux trois côtés du triangle. En effet , les bissectrices BO' et CO’, par exemple, se coupent en un point O' situé à égale distance du côté BC et des prolongements des côtés AB et AC (elles se coupent, parce que la somme des angles extérieurs en D et en C étant moindre que 4 droits, la somme do leurs moitiés est inférieure à 2 droits). Donc, si du point 0' comme centre avec celte distance OTpour rayon on décrit une circonférence, elle sera tangente au côté BC et aux prolongements des côtés AB et AC. Même démonstration pour les circonférences O" et 0'"

L^ trois cercles Q', 0', 0", sont appelés ex-inscrits par opposition au cercle inscrit 0.

La bissectrice de chacun des angles intérieurs du triangle ABC passe par le centre du cercle ex-inscrit tangent au côté qui est opposé à l'angle considéré.

43. Dans tout quadrilntèrc, les milieux des côtes sont les sommets d'un /tarallélogrammc {Jîg. 43.)

Soit le quadrilatère ABCD, et soit le quadrïlatère mnpq formé en joignant successivement les milieux de ses côtés. ' ^