SN

et la diagonale MN. On pourra donc construire ce jarallélogramme et tracer la seconde diagonale RS. • La figure PSQR sera aussi un parallélogramme, et l’on y connaîtra la

diagonale RS et les côtés RP = ^ et PS = Ce parallélogramme sera

donc complètement déterminé.

Il ne restera plus qu’à mener : par le point M, AB parallèle à QR ; par le pointP, BC parallèle à MS; ■jwr le point N, CD parallèle à QS; parle point Q , AD parallèle à MR. Le (piadrilatère ABCD qi^on obtiendra sera évidemment le quadrilatère demandé.

(*) i.e que nous venuns de dire csl vrai, que le quadiilalérc considerv soit pUn ou çéiLchf,

CÉOHÉTHIB.

Si le quadrilatère considéré devenait un trapèze ABCD 46), il suffirait de dgnner ses 'quatre côtés. Car, en menant AE parallèle à BT., le

Fie- 4fi

triangle DAE serait déterminé, puisqu’on connaîtrait ses trois côtés AD , AE = BC , DE = CD — AB. Construisant ce triangle , on prolongerait DE d'une longueur EC = AB , et l’on mènerait par le point A, à DC, une parallèle égale à AB. . ■

4fi. Des sommets itun triangle comme centres , décrire trois circonférences qui soient mutuellement tangentes (Jîg. 47 )•

Fig." 47. La question proposée revient à dé-

terminer sur les côtes du triangle trois points M, N, P, tels, qu’on ait

AP = AN, BP = BM, CM = CN.

Deux tangentes menées d’un même point à une circonférence étant égales, on voit que les points M , N, P, sont précisément les points où le cercle inscrit au triangle ABC touche les côtés de c« triangle.

En considérant les trois cercles ex-inscrits (42), on aurait trois autres solutions du problème.

On peut aussi avoir recours à l’algèbre. Désignons par a, h, c, les trois côtés du triangle, par x et^' les segments déterminés par le point M sur le côté a, par / et s les segments déterminés par le point N sur le côté ô; X et Z seront alors ceux déterminés par le point P sur le côté c. On devra satisfaire au système.

x-^-jr=a,

qui donne immédiatement par addition

d’où

fl + é-f-c , a -\-r ~ l> X = h = 1

On modifierait aisément la marche indiquée, dans le cas où l’on voudrait considérer les cercles ex-inscrits.

En rapprochant les résultats obtenus, on vérifierait que la distance de deux quelconques des quatre fioints de contact tFun côté tC un triangle avec les quatre cercles inscrit et ex inscrits, est égale à Pun des deux autres côtés ou à la somme de ces mêmes côtés ou ri leur différence.

Difjitizr .yC.OOgle

Fig. /|8.

GÉOKÉTmiB.

46. Couper une circonférence donnée O en deux parties égales, par une autre circonférence de rayon donné R ( fig. 48 ).

Menons un diamètre AB de la circonférence U, et OC perpendiculaire sur AB. Du point A comme centre, avec AC = R pour rayon, décrivons une circonférence qui coupe la perpendiculaire OC au point C. Si du point C comme centre, aveé R pour rayon, on décrit une circonférence, elle répondra à la question puisqu’elle passera par les extrémités du diamètre AB.

Si l’on suppose que AB tourne autour du point O, la perpendiculaire OC, toujours égale à y^C’ — AO’, tournera autour du même point, de sorte que le lieu des centres des circonférences qui satisfont à l'énoncé, est une circonférence concentrique à la circonférence proposée et de rayon égal à y/R’ — r’ , en désignant AO par r.

On voit que le problème est impossible si l’on a R < r.

47. Tracer entre deux circonférences données O et O' une droite de longueur donnée, parallèle à une direction ilonnée KL {fig. 49).

Supposons le problème résolu, et soit AB la droite demandée. Par le centre O, menons OC égale et parallèle à AB. La figure OABC sera un

(larallélogramme , et la position du point C sera parfaitement déterminée : on aura d'ailleurs