CH = CM - C”P, C'K = C'N - CP

et la question sera ramenée à faire passer une circonférence par le point C*, tangentiellement aux deux circonférences fil et C'K ( 75). Une fois cette circonférence auxiliaire, déterminée, on n'aura qu’à diminuer son rayon de la longueur CP.

Le problème qu’on vient de résoudre admet huit solutions, suivant les positions relatives des troia circonférences données et de la circonférence demandée.

Des polygones étoilés.

80. Supposons une circonférence divisée en « parties égales aux

Fig. 8o.

r;ÉOMÉTRIE.

{H)inU A, H, C, l), Ë, Ole. {Ji^. 82). Au lieu de joindre ces pointe successivement, de manière à former un polygone régulier convexe de h côtés,

Fie- 81

joignons-les de 2 en 2, de 3 en 3, . . . , de p en />.

Siippiisnnx {fnhoni iptr n rt p snient premiers entre eux, et admettons qu’on ait

arcAE = arc AB./».

Par convention, la circonférence proposée est égale à arc AB.«. La circonférence O et l’arc AE auront donc pour ptns petit commun multiple

arc AB.o./j ;

c’est-à-dire qu’on reviendra au point de départ, soit qu'on décrive p fois la circonférence, soit qu’on y porte successivement n fois l’arc AE. Mais, dans ce dernier cas, les cordes menées déterminent un polygone régulier roncaec de n côtés, qu’on appelle /iolygonc étoile.

81 . Supposons maintenant que les nombres n et p admettent un jdus grand diviseur commun q. Le plus petit commun multiple de ta circonférence et de l’arc AJ-i sera

arc AB • ;

et l'on voit qu’on reviendra au point de départ, après avoir décrit un polygone régulier concave étoilé, qui n'aura plus que - côtés et dont le

périmètre correspondra à ^ circonférencee. On retombera donc sur une solution déjà obtenue, en partant du polygone régulier convexe de ^ côtés.

82. 1! y a, d'après cela, autant de polygones réguliers d’une certaine esfwce, tant convexes qu'étoHés, que d’unités dans la moitié du nombre

qui exprime combien il existe de nombres entiers inférieurs n n et premiers avec lui.

Pour plus de simplicité, prenons n = 10. Los nombres entiers 1, 3, 7, 9, sont les seuls inférieurs à 10 et premiers avec lui. Donc, si l’on divise [Jîg. 83) une circonférence en 10 parties égales, cl si l’on joint les points de division de I en I, de 3 en .3, de 7 en 7 ou de 9 en 9, on ne reviendra au point de" départ qu’après avoir compté 10 fois le premier arc considéré, c’est-àdire qu’on formera ainsi quatre décagones réguliers.

Mais le premier et le dernier, le second et le troisième, seront évidera-

• circ Qcirc

ment égaux entre eux. En effet, les arcs — ou AaB cl ^ ou ASB,

par exemple, forment une somme égale à la circonférence entière : ils ont mêmes extrémités et leurs cordes sont égales. Donc, en parlant d’un même point A, ces arcs seront AB et AK, c’est-à-dire qu’ils auront toujours des cordes égales et seront seulement comptés en sens contraires. lx>s jMjlygones correspondants seront donc bien égaux, ce qui achève de démontrer le théorème. .

Fie- 83.

GÉOMÉTRIE

Le raisonnement employé est général. Si a, nombre entier inférieur à n, est premier avec /i, le nombre n — n remplira évidemment les mêmes conditions. Par conséquent, les nombres entiers inférieurs à n et premiers avec'lui se divisent en deux séries parallèles dont les termes correspondants ont toujours une somme égale à n.

11 n’y a donc en réalité que deux décagones réguliers ; le décagone ordinaire et le décagone étoilé (Jîg. 83) (*).

Si l’on' prend n = 7, il faut considérer les nombres entiers i, a, 3, 4, 5, 6, et l’on voit qu'il existe trois heptagones réguliers, dont deux étoilés, obtenus en joignant les points de division qui déterminent l’heptagone régulier convexe, de a en a ou do 3 en 3.

11 n’y a pas d'hexagone étoilé.

83. On peut demander la somme des angles intérieurs d’un polygone étoilé.

Si on l’a formé en joignant de p en p les n points de division primitifs, chaque cété d’un angle intérieur sous-tendra un arc égal à />.A0, en désignant par AB le rj""' de la circonférence. Dès lors la im^sure de cet

angle sera égale à • La somme des n angles intérieurs sera

donc 2/’)- La moitié de la circonférence ou correspon-

dant à a angles droits, la somme demandée ét/uii'audra à [n — a/i). a droits.

La somme des angles intérieurs et extérieurs étant, comme pour un polygone convexe, égale à an droits, la somme des angles extérieurs sera représentée par

•xn*’ — ( n — a/j ) . a'*'

c’est-à-dire par 4A>droits.

Si l’on suppose /? = 1, on retombe sur les théorèmes connus relatifs aux polygones convexes quelconques (Géom., 39).

Figures éq^ÜTalentes.

84. Partager un triangle en trois parties profxtrtionnelles à des nombres ou à des lignes données, en joignant un point pris dans son intérieur aux trois sommets {fig. 84).

Soient ABC le triangle>donné, m, p, q les nombres qui représentent les lignes données, et O le point cherché. On devra avoir

Fig. 84.

AOB