SU
écrire :
sino = o, sin •T = sin45” = — 1
sin - = sin 90» = I .
Lorsque l’extrémité de l’arc est dans le second quadrant, le sinus repasse par les mêmes valeurs que dans le premier, prises en ordre inverse.
En effet, les siniis de deux arcs supplémentaires sont égaux et de même signe. Soit l'arc .\M IJig. 4). Menons par l’extrémité M la parallèle MM' à l’axe OX. Les arcs .VM et AM' seront évidemment supplémentaires, puisque les arcs .AM et .\'M' seront égaux. Mais les extrémités M et M' ayant des ordonnées égales et de même signe, les sinus des arcs AM et AM' seront égaux et de même signe. —T /*
La formule
sin (ir — o)=sina
exprime celte importante propriété.
On voit que, l’arc croissant depuis 90® jusqu’à 180®, le sinus diminuera depuis i jusqu’à o.
Lorsque l’extrémité de l’arc tombe dans le troisième ou le * quatrième quadrant, le sinus est négatif (2); mais, de i82>°à 36o®, il repasse i'une manière absolue par les mêmes valeurs que de o à 180®. En effet, les ordonnées des points symétrl-
an.
3o8 ^ THIGONOMÉTIUE.
quement placés par rappori à l’axe des abscisses étant égales et de signes contraires, des arcs tels que AM et AM" ou tels que AM' et AM* ont nécessairement des sinus égaux et de signes contraires. L’arc croissant depuis i8o” jusqu’à 270®, le sinus décroîtra donc depuis o jusqu’à — i, et l’arc croissant depuis 270" jusqu’à 36o“, le sinus croîtra algébriquement depuis — I jusqu’à O.
La figure montre que les arcs qui diffèrent d'une demi-circonférence, comme les arcs AM et AM*, ont des sinus égaux et de signes contraires. C’est ce qu’exprime la formule
sin(r-f-a) = — sinfl.
Quand on augmente un arc d’un nombre quelconque de circonférences, son sinus ne change pas; puisque l’arc conservant toujours la même extrémité, c’est aussi la même ordonnée qu’on doit comparer au rayon. Désignons par 2ntr un nombre quelconque de circonférences de rayon égal à l’unité, n étant un entier quelconque. Nous aurons
La formule
sin(2n«-|-a) = sin a.
donnera alors
sin (ir — a) = sin a
sin (anw -h ir — a) = sin a,
ce qui revient à
sin[(2n-t- i)« — a] = sinn.
Il en résulte que toiu les arcs qui ont même sinus que f arc a sont renfermés dans les deux formules
2Jir-i-a et (2/n-i)ir — a.
Les arcs égaux et de signes contrairei ont aussi des sinus égaux et de signes contraires; car leurs extrémités sont symétriquement placées par rapport à l’axe OX. Ainsi, les arcs AM et AM* {Jig. 4) ont des sinus égaux et de signes contraires : c’e.sl ce qu’exprime la formule
sin ( — fl) = — sin a.
. (In voit que les variations du sinus ont pour limites H- t e/ ■ — I. Le sinus peut prendre toutes les valeurs positives possibles entre o et i , toutes les valeurs négatives possibles entre O et — 1 . Une quantité plus petite que 1 et plus grande que - — I peut donc toujours être représentée par le sinus d’un
certain arc.
On peut trouver directement, à l’aide des polygones réguliers, les sinus de certains arcs.
TRIGOMOMÉITKIE.^ 3o9
L’ordonnée de l’extrémité de l’arc de 6o° est la moitié de la corde qui sous-tend l’arc de 120“ (3, 4), c’est-à-dire la moitié du côté du triangle équilatéral inscrit, qui est égal a rv^3 {Géom,, 1^). On aura donc
„ sinoo" = sin ^ = - — •
L’ordonnée de l’extrémité de l’arc de So” est la moitié de la» corde qui sous-tend l’arc de 6o“, c’est-à-dire la moitié du côté de l’hexagone régulier inscrit, qui est égal à r. On aura donc
stn 3o® = sin TT = - •
De même, l’ordonnée de l’extrémité de l’arc de 18® est la moitié de la corde qui sous-tend l’arc de 36®, c’est-à-dire la moitié du côté du décagone régulier inscrit, qui est égal à
(Géom., 129).
On aurà <^nc
sin 18® = sin -^ = — ‘ • ‘ •
VariationB du cosinus. s .
8. Le cosinus d’un arc étant égal au sinusj^^on coniplément (4), tout ce que nous venons de dire (T^R^jl^produira dans un autre ordre pour le cosinus. Néaninoijl^il n’est pas inutile d’indiquer directement les variations On a
cos a s=r *-
Supposons l’arc a plus petilque 9<r.. A mesure quq depuiso jusqu’à go®, l’abscisse ardéèroliM î donc alors en même temps que F arc augmente.
TT
Pour a = O, on a x = r. Pour la distance OP est
égale à l’ordonnée MP {Jig. 4), c’est-à-dire à pour a = -* on a a:= O. On peut donc écrire :
;• va
Enfin,
COSO=l, COS -7 = COS45" = -^> cos - = cos QO® = O.
' Lorsque l’extrémité de l’arc est dans fe second quadrant, le
3lO TMGONOHÉTmi. .
cosinus repasse par les mêmes valeurs que dans le premier, prises en ordre inverse el affectées d’un signe contraire.
En effet, les cosinus de deux arcs supplémentaires sont égaux el de signes contraires. Les arcs AM et AM' (Jig. 4) étant supplémentaires, leurs extrémités M et M' ont des abscisses égales et de signes contraires, et les cosinus de ces arcs sont eux-mêmes égaux Qt de signes contraires.
/ La formule
cos (w — a) = — cosa
exprime cette importante propriété.
On volt que l’arc croissant depuis 90“ jusqu’à 180% le cosinus diminuera depuis o jusqu’à — i .
Lorsque l’extrémité de l’arc tombe dans le troisième quadrant, le cosinus est négatif; il est positif lorsque cette extrémité tombe dans le quatrième quadrant. Mais, de 180° à Stio", le cosinus repasse d’une manière absolue par les mêmes valeurs que de O à 180". En effet, les abscisses des points symétriquement placés par rapport à l’axe des abscisses étant (^les et de même signe, des arcs tels que AM et AM* ou tels que AM' et AM* ont nécessairement des cosinus égaux et de même signe. L’arc croissant depuis 180" jusqu’à 27o®,*lè -ebsinus ‘croîtra donc depuis — i jusqu’à o, et l’arc croissant depuis 270® ! jus(|u’à 36o®, le cosinus croîtra depuis o jusqu’à i .
I.a figure montre que les arcs qui diffèrent d’une demi-ciiy conférence, comme les arcs AM et AM", ont des cosinus égaux et de signes contraires; et que les arcs dont la somme est égale à une circonférence entière, comme les arcs AM et AM*, ont des cosinus égaux et de même signe. C’est ce qu'expriment les formules
cos (jr-4-ajr= — COSfl, cos{2w — a) = coso.
Quand on augmente un arc d’un^ nombre quelconque de circonférences, son cosinus ne change pas, puisque l’arc conservant toujours la même extrémité, c’est aussi la même abscisse qu’on doit comparerai! rayon. Désignons par 2/1 jr un nombre quelconque de circonférences, n étant un entier quelconque. Nous aurons
cos (2/nr -Ha) =cos a.
La formule
donnera alors
cos (2« — a) =cosa
cos (2/iir — a] = cosa.
Il en résulte que tous les arcs qui' ont même cosinus que l'arc a sont renfermés dans les deux formules
2nir-4-a et 2nn — a.
TRIGOKOlfÉTBIE. ^ ‘ 3ll
Le» arcs égaux et de signet contraires ont des cosinus égaux et de même signe; car leurs extrémités sont symétriquement placées par rapport à l’axe OX. Ainsi, les arcs AM et AM” ont des cosinus identiques. C’est ce qu'exprime la formule
cos ( — a ) = cos <z.
On voit que les variations du cosinus sont comprises entre H- I et — I. Une quantité plus petite que i et plus grande que
— I peut donc toujours être représentée par le cosinus d’un certain arc.
Variatiooa de la tangente.
