On a tanga = Supposons l’arc a plus petit que 90°. A

mesure que l’arc croîtra depuis o jusqu’à go®, l’ordonnée y croîtra et l’abscisse x diminuera. Pour cette double raison, la tangente croit donc alors avec l’arc.

Pour a = O, 011 a / = O et X = r. Pour « = ^ » on a y = x,

puisque le triangle OPM devient isocèle [fig. 4). Pour <*= “> on a J = r et X = O. On peut donc écrire

tango = O, •

tang^= tang45"= I,

îT r

tang- = tanggo” = - =x> .

Lorsque l’extrémhé de l’arc estdans le second quadrant, la tangente repasse par les mêmes valeurs que dans le premier# mais prises en ordre inverse et affectées d’un signe contraire.

En effet, les tangentes de deux arcs supplémentaires sont égales et de signes contraires. Car, si l’on se reporte à la figure, on voit que les extrémités des arcs supplémentaires AM et .\M' '

ont des ordonnées égales et de même signe en même temps que des abscisses égales et de signes contraires, les points M et M' étant symétriques par rapport à l’axe OY. Il en résulte que les rapports qui expriment les tangentes de deux arcs supplémentaires, sont nécessairement égaux et de signes contraires. C’est ce que rappelle la formule

tang (ir — c) = — langfl.

L’arc croissant de 90® jusqu’à 180®, la tangente croîtra donc algébriquement, depuis — 00 jusqu’à o. Nous disons depuis

— 00 , parce que l’arc de go" peut être regardé à la fois comme

3ia '' TtUGOMOMÉTIUE.

la limite des arcs qui, croissant depuis o jusqu'à 90% ont des tangentes positives, et comme la limite des arcs qui, décroissant depuis 180” jusqu’à 90”, Ont des tangentes négatives.

Lorsque l’arc croit de 180" jusqu’à 270“, la tangente repasse par les mêmes valeurs que dans le premier quadrant; et lorsque l’arc croit de 270" jusqu’à 36o", la tangente repasse par les mêmes valeurs que dans le second quadrant. En effet, les arcs qui diffèrent d’une demi-circonférence, comme les arcs AM et AM", ou comme les arcs AM' et AM", ont la même tangente, - parce que leurs extrémités coïncidant avec celles d’un même diamètre, ont nécessairement des coordonnées égales en valeur absolue, mais de signes contraires. 11 en résulte que le rapport de ces coordonnées reste toujours le même en valeur et en signe. C’est ce qu’exprime la formule

tang(ir-(-a) = tanga.

Ainsi, de 180“ à 270®, la tangente croit de o à -t- x ; de 270® à 3Go® elle croit algébriquement de — œ à o.

La remarque précédente montre que lorsqu’on augmente un arc d’un nombre quelconque de demi-circonférences, sa tangente ne varie pas. Désignons par me un nombre quelconque de demi-circonférences, n étant un entier quelconque. Nous aurons

■ tang(n7T a) = tanga.

. Tous les arcs qui ont même tangente que l’arc a, sont donc compris dans la formule

Les arcs égaux et de signes contraires ont aussi des tangentes égales et de signes contraires; car leurs extrémités sont symétriquement placées par rapport à l’axe OX, de sorte que ces extrémités ayant des ordonnées égales et de signes contraires et la même abscisse, les rapports formés par leurs coordonnées respectives sont égaux et de signes contraires. C’est ce qu’exprime lu formule

lang( — o)= — tanga.

On voit que les variations de la tangente ant pour limites -f- X et — » . La tangente peut prendre toutes les valeurs positives possibles entre o et-t-œ , toutes les valeurs négatives possibles entre o et — œ . l ue quantité réelle quelconque peut donc toujours être représentée par la tangente d 'un certain aie.