OP, = - MP
Désignons par a l’arc AM, l’arc AM, sera ~ Soient x et/
les coordonnées du point M, x' et /' celles du point M, : on aura
Par suite
r,cs formules sont importantes à retenir. '
TRICOHOMÉTaiE.
Relations entre les rapports trigonométriqnes d’on même arc. 12. On a, par définitions (3),
sina= - »
COSfl = ^j
tanga = -»
coseca = - >
seca = -•>
cota = -•
Élevons au carré (*) les deux premières égalités et ajoulonsles membre ti membre, nous aurons
sin’a ■+■ cos’a :
Mais le triangle rectangle OPM 6) donne
Par suite ■
^i) sln’a+ cos’a= I.
Si l’on divise membre à membre les deux égalités sur lesquelles on vient d’opérer, on trouve
c’est-à-dire
sina X
cosa X
tanga =
sina
cosa
De même, on peut écrire les trois égalités qui concernent les rapports trigonométriques inverses sous la forme
coséca = — : — 1 sma
seca = 5
cosa
cota=
tanga
cosa
sina
Telles sont les cinq relations fondamentales entre les six rapports trigonométriques. U en est d’autres utiles à connaître. Divisons par cos’a les deux membres de la relation (i) : il
(* ) C’est le rapport sin a qui est élcTC a» Carré, ce qu'on pourrait indiquer en écrivant (sin a}’. On alTeete, pniir plus du simplicité, 1« seul signe sin de l'exposant convenable.
viendra
TaiGOMOMÉTRlE sin*(i
ros’a ■ cos’rt Les relations (2) et (4) donnent alors
sin’a
tang’a =
cos’ a
et
Par suite
séc’a =
cos’ a
(6) sec’a = i -f- tang’a.
Les relations qui existent entre les trois rapports directs, existent évidemment entre les trois rapports indirects (4). On peut donc poser immédiatement
(7) coséc’a= I + cot’a.
Toutes les relations qu’on vient d’établir sont évidemment générales; car elles ne dépendent en rien de la place occupée sur la circonférence par l’extrémité de l’arc considéré.
13. Entre les six rapports trigonomélriques, il existe cinq relations fondamentales. On peut donc demander d’exprimer cinq de ces rapports en fonction du sixième.
Proposons-nous, par exemple, d’exprimer en fonction de la tangente les cinq autres rapports trigonométriques.
On a immédiatement (rel. 5 et 6)
cota= — î — I sécfl= I -i- tang’a.
tang a
La relation ( 7 ) donne
cosec
c’est-à-dire
De
on déduit alors
éc a = ^
V I -t- tang’a cosec a = 2 —
tang’a
ng tanga
sec a =
cos a
ros a = — : — = - :
sec a I -f- tang’ a
et de
TSICOKOMÉTniE.
on déduit
coséc a = — — sin a
I tanga
coséc a ^ I tang’a
On emploie très-souvent les expressions du sinus et du cosinus en fonction de la tangente.
Les valeurs du sinus, du cosinus, de la sécante et de la eosécante exprimées en fonction delà tangente, renferment toutes un radical, c’est-à-dire qu’elles sont susceptibles d’un double signe; la valeur de la cotangente, au contraire, n’est susceptible que d’un signe. En effet, si l’on donne seulement la valeur delà tangente, sans indiquer l’arc correspondant, cette valeur répondra à deux séries d’arcs terrninés aux extrémités d’un même diamètre (9). Si la tangente est positive, ces extrémités tomberont dans le premier et le troisième quadrant : la tangente et la cotangente sont alors toujours positives, tandis que les quatre autres rapports trigonométriques peuvent être positifs ou négatifs, suivant qu’on considère l’extrémité située dans le premier ou le troisième quadrant. Au contraire, si la tangente est négative, les extrémités des arcs correspondants tomberont dans le second et le quatrième quadrant : la tangente et la cotangente sont alors toujours négatives, tandis que le sinus et la cosécante/ positifs dans le second quadrant, sont négatifs dans le quatrième, et que le cosinus et la sécante, négatifs dans le second quadrant, sont positifs dans le quatrième (10).
