FORMULES TRIGONOMÉTRIQUES

Théorie des projectiona.

14. D’une manière générale, on entend par projection d’une droite AB sur une autre droite OX prise pour axe de projection, la portion ab de l’axe OX interceptée par les deux

plans menés perpendiculairement des extrémités de AB sur OX. Les points a et 4 sont les projections des poinu A et B sur l’axe l/ig. 7).

Parlepoint A, menons AC parallèle à OX.Cette parallèle sera égale à la projection ab [Géom., 173).

Si AB est dans un même plan avec l'ax£, les trois points B, C, b.

3 1 8 TR ICONOMÉTRIE .

seront en ligne droite; sinon, ils présenteront la disposition indiquée sur la figure.

L’angle de AB avec l’aTC sera l’angle formé par AB avec la parallèle AC [Géom., 158).

Désignons cet angle par a. Le triangle ABC est rectangle en C : on peut donc regarder AC comme l’abscisse du point B • par rapport à AC, le point A étant pris pour origine (2). On aura alors par définition (3)

AC

"°®“=âbT

Représentons par / la longueur de la droite AB, par p celle de sa projection. La relation précédente donnera

P = /cos a.

La projection d'une droite sur un axe rectiligne quelconque est donc égale à la longueur de cette droite multipliée par le cosinus de l’angle qu elle forme avec l’axe.

15. On peut regarder la droite AB comme ayant deux directions, selon qu’on marche de l’extrémité A vers l’extrémité B ou de l’extrémité B vers l’extrémité A. Si, dans le premier cas, la projection ab, comptée alors dans le sens de O vers X, est considérée comme positive, dans le second on doit l’affecter du signe — , puisqu’elle se trouve comptée en sens inverse.

. La convention suivante permet de ne pas se préoccuper du sens de la projection. Pour mesurer l’angle d’une droite finie avec un axe rectiligne, on mène par le point de départ de cette droite une parallèle à l’axe; l’angle qu’on obtient en partant de Cette parallèle et en décrivant au-dessus d’elle un arc jusqu’à la droite proposée, est l’angle de la droite avec

Fig. 8.

l’axe.

Si l’on parcourt la droite AB [fg. 8) en parlant du point A, l’angle de AB avec l’axe est l’angle aigu CAB = a. Si l’on parcourt la droite AB en partant du point B, l’angle de AB ou mieux

de BA avec l’axe est l’angle DBA = a', et cet angle tombe enlre^So" et 270°.

Dans le premier cas, la projection de AB est p = l cos a ; dans le second, elle est p' = l cos a' ; cos a' est négatif et donne le signe convenable à la projection, pourvu que la longueur / soit toujours prise en valeur absolue.

Remarquons que cos a' =cos (2 it — a') = cos ABD. On peut

TniGUNOUÉTRIE.

donc remplacer l'angle a! par l’angle ABD, supplément de l’angle a. Les cosinus de deux angles supplémeniaires étant égaux et de signes contraires, on a bien /> = — p' .

En résumé, l'angle dont on introduira le cosinus dans les calculs sera le plus petit des angles formés par la droite avec la parallèle à l’axe, cette parallèle étant menée par le point de départ de la droite, et d'angle étant mesuré au-dessus ou au-dessous de cette parallèle.

16. Théorème fondamental. — Étant donné un contour polygonal quelconque ABCDE, la somme algébrique des projections des côtés qui le composent sur un axe ÜX, est égale à la projection sur le même axe de la ligne AE qui joint les deux extrémités du contour [fg. 9).

En effet, la flgure donne immédiatement la relation suivante entre la projection de la ligne résultante AE et les projections des côtés du contour :

ae = ab -h bc — cd-\- de. »

Désignons par a, a', a", a", les angles formés par les côtés

AB, BC, CD, DE, avec les parallèles AB', BC', CD', DE', menées à l’axe OX par leurs différents points de départ A,

B, C, D; désignons par P l’angle formé T par AE avec la parallèle AB'. Soient l, V, l", les longueurs des côtés du contour; soit L, la longueur de AE. Le théorème précédent (14, 15) permettra de poser

ne = L cos p, ab = /' cos a , bc=zl' cos a',

— cd = l'' cos a", de — r cos a*.

En substituant dans l’égalité précédente, il viendra donc

L cos P = / cos a -+- /' cos a' -f- l" COS a" -|- /” COS a”.

Pour abréger, on écrit souvent

Lcos P = Z / cos a,

en indiquant par le signe z la somme de tous les termes semblables dont la notation / cos a rappelle la forme générale.

Le théorème qu’on vient de démontrer est d’un usage con-

TRIGONOMÉTRIE

3ao

tinuel, comme lous ceux qui peuvent fournir une relatioit Immédiate entre les données et les inconnues d’une (Igure.

Deux contours polygonaux terminés aux mêmes extrémités ont des projections égales sur un axe quelconque.

La plus grande valeur de la somme s /cos a a lieu lorsque la ligne AE qui ferme le contour est parallèle à l’axe. On a alors

cos P = I et il cos a = L.

Lorsque la ligne qui ferme le contour est perpendiculaire à l’axe, on a cos p = o et il cos a = o. La même conséquence se présente lorsque le contour se ferme de lui-même, c’est-à-dire lorsqu’on a L = O.

17. Considérons le parallélipipède rectangle OD io).On J,. aura [Géom., 204)

OD’ = OA»-t-OB’-4-OC».

Mais les triangles rectangles OAD, OBD, OCD, donnent immédiatement (14)

OA = ODcosDOA,

OB = OD cos DOB ,

OC = ODcosDOC.

Substituant dans l’égalité précédente et divisant les deux membres par OD’, il viendra .

I = cos’DOA -H cos’ DOB -H cos’DOC.

On est ainsi conduit à cette remarque : la somme des carrés des cosinus des angles formés par une droite OD avec trois axes rectangulaires Ox, O/, Oz, est égale à l'unité.

18. Le théorème (14) subsiste pour une aire plane quelconque projetée sur un plan.

Je dis d’abord que la projection d’un triangle sur un plan est égale à l’aire du triangle multipliée par le cosinus de l’angle

que son plan forme avec le plan de projection.

Supposons que l’un des côtés BC du triangle donné ABC se trouve dans le plan de projection P [fg. 1 1). La projection du triangle ABC sera le triangle A'BC. Menons la hauteur AD du triangle ABC, A'D sera la hauleur du triangle A'BC (Géom., 164), et l’angle de ces deux hauteurs me-

Fig. 11.

XKIGUMOMÉTRIE. • 3a I

surera l’angle « du plaît ABC avec le plan 1‘. On aura donc, à la fois

abc=bcxai)^