A'BC
BC X AD X cos a = 2
ABC. cos a.
Fig. U.
Considérons le triangle ABC dans une position quelconque par rapport au plan de projection P. On pourra toujours, sans
altérer la valeur de la projection de l’aire ABC, transporter le plan P parallèlement à lui-même jusqu'à ce qu’il vienne passer par le point B. Soit alors BD l’intersection du plan ABC et du plan P [fig. 12).
Projetons les sommets A et C en A' et en C'. Le triangle A' BD sera la projection du triangle ABD, le triangle C'BD celle du triangle CBD. Soit a l’angle du plan ABC et du plan P. On aura, d’après la démonstration précédente,
A'BD = ABD.cosa, C' BD = CBD. cos a.
On en déduit, par soustraction.
A'BC' = ABC.cosï.
Mais A'BC' est la projection du triangle ABC : le théorème est donc général.
Soit maintenant un polygone plan quelconque, dont je désignerai l’aire par S. Soit S' l’aire de sa projection orthogonale sur un plan P, soit a l'angle que son plan forme avec le plan P. Le polygone S étant composé des triangles T, T', T",..., sa projection S' sera composée des triangles correspondants t, V , et l’on aura
/ = TcOSa, C = T'COSa, /" = T" COS a, . • .
On en déduit immédiatement, par addition, S' = S cos a.
En employant la méthode des limites {Géom., 132), on élemi facilement ce résultat au cas d’une aire plane terminée par un contour quelconque, curviligne ou semi-curviligne.
3aa iT.i(;oiii<)MÉ’miE.
19. Les projêclions de la surface 'S sur trois plans deux à deux rectangulaires, étant désignées par S', S , S , et les angles de S avec ces trois plans, représentés par a, |5, 7, on aura
S' = S cos a, S"=Scosp, S" = s cos 7.
Si l’on se rappelle que deux droites perpendiculaires à deux plans font entre elles le même angle «que ces deux plans (Géom., 190), on verra que les angles a, p, 7, satisfont nécessairement (l’T) à la relation
I = cos’ a + cos’ P -H cos’ 7 .
Par conséquent, en ajoutant les trois équations précédentes après les avoir élevées au carré, on arrivera à cette relation remarquable
20. Tout ce que nous venons de dire montre qu’il existe entre une aire plane et ses projections sur un plan les mêmes relations qu’entre une droite et ses projections sur un axe. Par suite, si l’on élève des perpendiculaires aux plans des aires considérées, si l’on prend respectivement sur ces perpendiculaires des longueurs proportionnelles aux aires correspondantes, au lieu de projeter toutes les aires sur un plan, on pourra projeter toutes les droites finies obtenues sur un axe perpendiculaire au plan de projection choisi. Les angles formés par les aires avec le plan de projection sont ainsi les mêmes que les angles formés par les droites avec l’axe de projection, et rés rapports des aires sont remplacés par des rapports linéaires égaux. Nous ne nous étendrons pas davantage sut ce sujet.
Rapports trigonométriques de la somme on de la différence de deux arcs.
21. Soient deux arcs quelconques que je désignerai d’une manière générale par a et par b. Soit A l’origine des arcs sur la circonférence considérée. Je compterai dans le sens convenable ; .à partir du point A, l’arc -\B = n, à partir du point B, l'arc BC = b. En se reportant à la Jig. i3 etaux définitions données dans le chapitre 1, on aura
Fie- i3.
lï
: sin n.
OA
J^=sin/>,
— Ol> OA
^=cos«, O
— =cosè.
COs(n -t- /').
THIGO.^UMÉTalli
Ceci posé, les coniours ül‘C, 0/»'C, ayanl les iiiômes exiréinités, leurs projections sur Taxe Ox seront égalé^
La projection du contour OPC se réduit à — OP, parce que PC est perpendiculaire à l’axe, et que OP latt yn angle de 180» avec l’axe, de sorte qu’il faut multiplier OP par i pour avoir sa projection.
L’angle de Op' avec Ox étant mesuré par a, Ia|»rojeciion du côté Op' sera Op'.cosa.
L’angle de p’C avec l’axe étant égal à l’angle a augrrtenté de yo“, comme le montre la parallèle />'x' à l’axe Ox, la projection du côté p'C sera
p'O cos ’
c’est-à-dire (11 )
— p'C. sin a.
La projection du contour O p'C sera donc 0/>'.cosa — p'C. sin a; et l’on aura la relation
— OP = Op'.cosa — p'C. sin a,
qu’on peut écrire
— OP Op' p'C .
-^-j^.cosa-^.sina.
Remplaçant les différents rapports obtenus par leurs valeurs, il viendra
(i) cos (a -i-ô) = cos a cos ô —sin a sin 6.
I.a démonstration que nous venons de donner ne suppo.se aucune disposition particulière de la figure, c’est-à-dire qu’elle n’impose aucunes valeurs spéciales aux angles a et ô; reposant sur le principe fondamental des projections, elle participe à toute sa généralité. On peut donc remplacer dans la formule (1) l’arc a par ^ — a et l’arc b par l’arc — b. Il viendra alors
= cos — a^ cos(— b)
^ — a^ sin ( — b).
cos[(:-»)- *]
TRIfîONOMÉTRIE.
Mais (3)
cos
Do même
— A j = cos — (a + 6) j =sin(<T + i>).
cüs — rtj = sinrt, sin — a j = cosa.
Enfin (8, 7)
cos ( — />) = cos6, et sin( — ^) = — sin^>.
On aura donc, en réalilé
(2) sin (a -f- A) = sina cos 6 + cosflsin i.
En changeant dans les formules (i) et (2) 6 en — 6, on trouve ,
cos(a — fr)=cosacos( — b) — sinasin( — fc), sin(a — f>)= sina cos( — b) + cos a sin (—/>),
c’est-à-dire
(3) cos(fl — 6) =cosflCos6 -F sinasinA.
(4) sin(a — A) = sinacos A — cosasin A.
Les formules (1), (2), (3), (4), sont d’un usage continuel, et l’on doit les savoir par cœur, comme toutes les formules irigonométriques. 11 est utile de remarquer que le signe -+du second membre correspond à cos (a — A), le signe — du second membre correspond au contraire à sin(a — A).
